Zadania tekstowe

[Gość]

Przygotowuje się do olimpiady z matematyki. Chodzę do III klasy gimnazjum. Od nauczyciela dostałem kilka zadań tekstowych ale trzech nie umiem zrobić. Proszę o pomoc. Z góry dziękuję.

Oto one:

1. Dla jakich wartości m z odcinków o długościach: 2m+2, m+8, 3m+1
można zbudować trójkąt równoramienny.

2. Przy dzieleniu liczb naturalnych a, b, c przez 5 otrzymujemy odpowiednio reszty 1,2,3. Oblicz resztę z dzielenia sumy kwadratów tych liczb przez 5.

3. Łódka poruszająca się ze stałą prędkością pokonuje odcinek rzeki od przystani A do przystani B płynąc z prądem w czasie 2 godzin, a pod prąd w czasie 3 godzin. Oblicz stosunek prędkości łódki do prędkości prądu rzeki.

Proszę o rozwiązanie i jak do tego doszliście.

[Zlodiej]

Do olimpiady gimnazjalnej ?

AD 1
Oznaczmy sobie te boki trójkąta:
A=2m+2
B=m+8
C=3m+1

Jako ze trójkąt jest równoramienny mamy:
A=B lub A=C lub B=C

Rozpatrz te 3 przypadki do kazdego dodsjąc dodatkowe założenia a mianowicie np w A=B musisz założyć ze A+B

Namotane ale prawdziwe


Jesli sie gdzieś pomyliłem to prosze wybaczyć ale zmeczony jestem

[Skrzypu]

Zad 1
Trójkąt równoramienny powstanie wtedy, gdy dwa boki są równe, ale najpierw musimy sprawdzić dla jakich m może powstać w ogóle trójkąt

a=2m+2
b=m+8
c=3m+1

Wszystkie boki muszą być większe od 0

2m+2>0
m+8>0
3m+1>0

2m>-2
m>-8
3m>-1

m>-1
m>-8
m>-1/3

m e (-1/3, +inf)

Muszą być spełnione te trzy warunki

a+b>c
a+c>b
b+c>a

a+b>c

2m+2+m+8>3m+1

3m+10>3m+1

0m>-11


a+c>b

2m+2+3m+1>m+8

5m+3>m+8

4m>5

m>5/4


b+c>a

m+8+3m+1>2m+2

4m+9>2m+2

2m>7

m>7/2

m e (7/2, +inf)


Trójkąt może istnieć gdy m e (7/2, +inf)

Razem z poprzednim warunkiem wychodzi: m e (7/2, +inf)


Teraz sprawdzamy dla jakich m możemy zbudować trójkąt równoramienny

Trójkąt jest równoramienny gdy dwa jego boki są równe, mamy 3 przypadki:

a=b
a=c
b=c

Sprawdzamy

a=b

2m+2=m+8

m=-6

m nie należy do przedziału (7/2, +inf)


b=c

m+8=3m+1

-2m=-7

m=7/2

m nie należy do przedziału (7/2, +inf)


a=c

2m+2=3m+1

-m=-1

m=1

m nie należy do przedziału (7/2, +inf)


W żadnym przypadku nie wyjdzie takie m, więc nie istnieje takie m dla którego można zbudować trójkąt równoramienny o podanych bokach.



Zad 2

Z warunków zadania wynika, że

a/5=x+1/5
b/5=y+2/5
c/5=z+3/5

a=5x+1
b=5y+2
c=5z+3

Jaką resztę da suma kwadratów tych liczb przy dzieleniu przez 5

(a^2+b^2+c^2)/5=[(5x+1)^2+(5y+2)^2+(5z+3)^2]/5=

=(25x^2+10x+1+25y^2+20y+4+25z^2+30z+9)/5=

=[5(5x^2+2x+5y^2+4y+5z^2+6z)+1+4+9]/5=

=[5(5x^2+2x+5y^2+4y+5z^2+6z)+14]/5=

=5x^2+2x+5y^2+4y+5z^2+6z+2 + 4/5=

Ponieważ 5x^2+2x+5y^2+4y+5z^2+6z+2 jest liczbą całkowitą, więc ta liczba przy dzieleniu przez 5 da resztę 4



Zad 3

s-droga z A do B
v_1-prędkość łódki
v_2-prędkość prądu rzeki

s=vt

s=(v_1+v_2)*2

s=(v_1-v_2)*3

(v_1+v_2)*2=(v_1-v_2)*3

2v_1+2v_2=3v_1-3v_2

5v_2=v_1

v_1/v_2=5

stosunek prędkości ódki do prędkości rzeki wynosi 5

[Shinok]

Tak do olimpiady gimnazjalnej
Wiecie co może się znależć jeszcze na olimpiadzie?

[Altruista]

Zad 1
Trójkąt równoramienny powstanie wtedy, gdy dwa boki są równe, ale najpierw musimy sprawdzić dla jakich m może powstać w ogóle trójkąt

a=2m+2
b=m+8
c=3m+1

Wszystkie boki muszą być większe od 0

2m+2>0
m+8>0
3m+1>0

2m>-2
m>-8
3m>-1

m>-1 |
m>-8 | => me(-1/3;+inf)
m>-1/3 |

m e (-inf, -8) (1.1)

Muszą być spełnione te trzy warunki

a+b>c
a+c>b
b+c>a

a+b>c

2m+2+m+8>3m+1

3m+10>3m+1

0m>-11


a+c>b

2m+2+3m+1>m+8

5m+3>m+8

4m>5

m>5/4


b+c>a

m+8+3m+1>2m+2

4m+9>2m+2

2m>7

m>7/2


Trójkąt może istnieć gdy m e (-inf, 5/4)

Razem z poprzednim warunkiem wychodzi: m e (-inf, -8)


Teraz sprawdzamy dla jakich m możemy zbudować trójkąt równoramienny

Trójkąt jest równoramienny gdy dwa jego boki są równe, mamy 3 przypadki:

a=b
a=c
b=c

Sprawdzamy

a=b

2m+2=m+8

m=-6

m nie należy do przedziału (-inf, -8) (1.1)


b=c

m+8=3m+1

-2m=-7

m=7/2

m nie należy do przedziału (-inf, -8) (1.1)


a=c

2m+2=3m+1

-m=-1

m=1

m nie należy do przedziału (-inf, -8) (1.1)


W żadnym przypadku nie wyjdzie takie m, więc nie istnieje takie m dla którego można zbudować trójkąt równoramienny o podanych bokach.

No cóż nie chciałbym kwestionować Twojego autorytetu ale powiedz mi skąd się wziął ten przedział (1.1) Jak dla mnie końcowym przedziałem powinien być (3,5;+inf) Co ostatecznie nie zmienia wyniku,ale to chyba dośc spory błąd


Pozdrawiam !

[Skrzypu]

Już poprawione wszystko

[przemek]

ad.1
Rozpatrz te 3 przypadki do kazdego dodsjąc dodatkowe założenia a mianowicie np w A=B musisz założyć ze A+BC
A zadanie ma dwa rozwiązania. Mainowicie spełniają ja liczby 6 oraz 3.5