Zadanie o pływaku

Problemy matematyczne "ubrane" w życiowe problemy.
Twatimanhhs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 9 mar 2022, o 10:37
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Zadanie o pływaku

Post autor: Twatimanhhs » 10 maja 2022, o 08:36

Po przepłynięciu 2km rzeką pod prąd pływak napotkał pływającą w wodzie butelkę. Płynął jeszcze pół godziny i zawrócił, ponownie napotkał butelkę dokładnie w miejscu z którego wyruszył. Jaką jest prędkość wody w rzece? (Pływak i rzeka poruszają się że stałą prędkością)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8175
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 272 razy
Pomógł: 3192 razy

Re: Zadanie o pływaku

Post autor: kerajs » 10 maja 2022, o 09:21

2 km/h

arq1234
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 3 sty 2022, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Re: Zadanie o pływaku

Post autor: arq1234 » 10 maja 2022, o 22:12

Jak do tego dojść?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7089
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 1530 razy

Re: Zadanie o pływaku

Post autor: janusz47 » 12 maja 2022, o 10:43

Zadanie rozwiążemy dwiema metodami. Metoda pierwsza jest prostsza i polega na rozpatrzeniu ruchu pływaka i butelki względem nurtu rzeki.

Butelka unoszona przez nurt jest w spoczynku względem płynącej rzeki. Pływak początkowo oddala się od płynącej butelki, a następnie do niej się zbliża.

Prędkość pływaka względem nurtu rzeki jest w obu przypadlkach stała, tylko zmienia się jej zwrot. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ t }\) - czas ruchu pływaka od chwili zauważenia butelki do momentu rozpoczęcia pogoni.

Tak więc czas ruchu pływaka od momentu zauważenia płynącej butelki do momentu jej odnalezienia wynosi \(\displaystyle{ 2t. }\)

Równocześnie \(\displaystyle{ 2t }\) to czas płynięcia butelki. Niech \(\displaystyle{ s }\) będzie drogą przebytą przez butelkę w tym czasie względem brzegu.

Jest to również droga przebyta przez wodę w rzece.

Tak więc szukana prędkość rzeki (prędkość ruchu butelki) \(\displaystyle{ v }\) wynosi \(\displaystyle{ v = \frac{s}{2t} = \frac{2}{2\cdot \frac{1}{2}}\ \ \frac{km}{h} = 2\ \ \frac{km}{h}.}\)

Drugi sposób rozwiązania zadania polega na rozpatrzenia ruchu pływaka i butelki względem brzegu rzeki.

Oznzczmy przez \(\displaystyle{ A }\) miejsce (punkt), w którym pływak zauważa butelkę, przez \(\displaystyle{ B }\) miejsce, w którym zrozpoczyna pogoń za nią i zawraca, przez \(\displaystyle{ C }\) punkt, w którym dogania butelkę.

Niech \(\displaystyle{ u }\) będzie prędkością ruchu pływaka, a \(\displaystyle{ v }\) prędkością nurtu rzeki.

Porównajmy czas ruchu butelki i czas ruchu pływaka.

Czas pogoni za butelką wynosi

\(\displaystyle{ t_{BC} = \frac{s_{BC}}{u+v} = \frac{s_{BA}+s_{AC}}{u +v} }\)

Mamy równość \(\displaystyle{ s_{BA} = s_{AB} }\) i \(\displaystyle{ s_{AC} = s, }\)

a droga \(\displaystyle{ s_{AB} }\) wynosi

\(\displaystyle{ s_{AB} = (u-v) \cdot t }\)

Czas \(\displaystyle{ t_{BC} }\) wyraża się wzorem

\(\displaystyle{ t_{BC} = \frac{(u-v)\cdot t +s}{u+v} }\)

Czas płynięcia butelki wynosi

\(\displaystyle{ t_{B} = t_{AB} + t_{BC} }\)

gdzie \(\displaystyle{ t_{AB} = t. }\)

Ponieważ \(\displaystyle{ t_{B} = \frac{s}{v} }\) - otrzymujemy równanie

\(\displaystyle{ \frac{s}{v} = t + \frac{(u-v)\cdot t + s}{u+v} }\)

\(\displaystyle{ \frac{s}{v} = \frac{(u+v)\cdot t +(u-v)\cdot t + s}{u+v} }\)

\(\displaystyle{ s\cdot (u+v) = v\cdot(u +v)\cdot t + v\cdot (u-v)\cdot t +v\cdot s }\)

\(\displaystyle{ s\cdot u + s\cdot v = u\cdot v \cdot t +v^2\cdot t +u\cdot v \cdot t -v^2\cdot t + v\cdot s }\)

\(\displaystyle{ s\cdot u = 2u\cdot v\cdot t }\)

\(\displaystyle{ v = \frac{s}{2t}, }\)

\(\displaystyle{ v = \frac{2}{2\cdot \frac{1}{2}} \ \ \frac{km}{h} = 2\ \ \frac{km}{h}.}\)

ODPOWIEDZ