Iloczyn dziesięciu różnic

Problemy matematyczne "ubrane" w życiowe problemy.
matematyk124
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 4 kwie 2021, o 20:16
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Iloczyn dziesięciu różnic

Post autor: matematyk124 » 4 kwie 2021, o 20:18

O pięciu liczbach dodatnich wiadomo, że różnica pomiędzy sumą trzech dowolnych liczb spośród nich, a suma dwóch pozostałych, jest zawsze dodatnia. Udowodnić, że iloczyn wszystkich możliwych dziesięciu takich różnic jest nie większy od kwadratu iloczynu tych pięciu liczb.
Ostatnio zmieniony 4 kwie 2021, o 20:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się dobierać tytuł tematu tak, by opisywał jego treść. Temat umieszczono w złym dziale.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15250
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 165 razy
Pomógł: 5062 razy

Re: Iloczyn dziesięciu różnic

Post autor: Premislav » 4 kwie 2021, o 20:57

Zauważmy, że
\(\displaystyle{ (a+b+c-d-e)(a-b-c+d+e)\le \left( \frac{(a+b+c-d-e)+(a-b-c+d+e)}{2}\right)^{2}=a^{2}}\)
Wynika to z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną dla dwóch liczb.

Wystarczy wymnożyć stronami pięć tego typu nierówności i mamy tezę, c.k.d.

matematyk124
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 4 kwie 2021, o 20:16
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Re: Iloczyn dziesięciu różnic

Post autor: matematyk124 » 5 kwie 2021, o 10:57

Dzięki za odpowiedź.
Rozumiem twój tok rozumowania i ma sens, ale mam problem z dobraniem par tych iloczynów. Twoja prawa strona równania rzeczywiście równa się \(\displaystyle{ a^2}\), natomiast nie wiem jaką parę dobrać aby wyszło np. \(\displaystyle{ b^2}\). Jak podstawię \(\displaystyle{ \left(\frac{(b + c + d - a - e) + (b - c - d + a +e)}{2}\right)^2}\) to, to nie równa się \(\displaystyle{ b^2}\) według wolfram alpha.
Ostatnio zmieniony 5 kwie 2021, o 11:59 przez AiDi, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Brak LaTeX-a, zapoznaj się z instrukcją https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951 .

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19306
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3260 razy

Re: Iloczyn dziesięciu różnic

Post autor: a4karo » 5 kwie 2021, o 11:05

To policz to na palcach. Czasem wiedza podstawówki się przydaje.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15250
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 165 razy
Pomógł: 5062 razy

Re: Iloczyn dziesięciu różnic

Post autor: Premislav » 5 kwie 2021, o 11:09

Jakże to? U mnie wolfram potwierdza, patrz tutaj.

Reszta idzie cyklicznie, tj. tak jakbyśmy przyjmowali teraz \(\displaystyle{ b}\) za nowe \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ c}\) za nowe \(\displaystyle{ b}\) itd. (chodzi o znaki). Na przykład jeśli wystartowaliśmy od takiej pary jak napisałem, to potem wzięlibyśmy
\(\displaystyle{ (-a+b+c+d-e)(a+b-c-d+e)\le b^{2}}\) (zresztą jak u Ciebie, tylko zamieniłeś też kolejność) i dalej idzie analogicznie. Mógłbym te wszystkie pary wypisać, ale trochę mi się nie chce.

ODPOWIEDZ