2020

Problemy matematyczne "ubrane" w życiowe problemy.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7667
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 232 razy
Pomógł: 3026 razy

2020

Post autor: kerajs » 29 cze 2020, o 21:32

1) Ile jest trójkątów prostokątnych w których jednym z boków jest \(\displaystyle{ 2020}\), a pozostałe boki są liczbami naturalnymi?

2) Rozwinięcie dziesiętne liczby \(\displaystyle{ 2020!}\) zakończone jest 503 cyframi 0.
a) Jaka cyfra parzysta jest na miejscu \(\displaystyle{ 10^{503}}\) ( czyli jaka jest pierwsza cyfra przed tymi 503 zerami)?
b*) Jaka jest pierwsza od prawej cyfra nieparzysta rozwinięcia dziesiętnego \(\displaystyle{ 2020!}\) i na którym miejscu ona się znajduje?

3) 2020 ma pewną własność. Czytając od prawej wiadomo iż jej zapis zawiera 2 zera, 0 jedynek, 2 dwójki i 0 trójek .
Proszę podać wszystkie liczby posiadające tę własność. (m.in: 42101000)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 793
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 246 razy

Re: 2020

Post autor: Elayne » 29 cze 2020, o 23:03

Ad 1.
Takich trójkątów prostokątnych mamy siedemnaście.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7667
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 232 razy
Pomógł: 3026 razy

Re: 2020

Post autor: kerajs » 30 cze 2020, o 00:51

To chyba już tradycja, że na to samo pytanie odpowiada ta sama osoba. A mógłbyś wypisać te rozwiązania (a przynajmniej trudniejsze do znalezienia trójkąty z przeciwprostokątną 2020) ?

Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 793
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 246 razy

Re: 2020

Post autor: Elayne » 30 cze 2020, o 02:01

Ukryta treść:    

pkrwczn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gorzów Wlkp, Birmingham
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 12 razy

Re: 2020

Post autor: pkrwczn » 2 lip 2020, o 21:42

Ad 2.
Ukryta treść:    
Ale nie wiem jak udowodnić.

Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 793
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 246 razy

Re: 2020

Post autor: Elayne » 3 lip 2020, o 18:42

Pokaż jak to zostało policzone a udowodnisz to prawdopodobnie.
Autor pytania udzielił w treści zadania dużej wskazówki podając ilość zer na końcu liczby oraz podając zapis w notacji \(\displaystyle{ 10^{503}.}\)

pkrwczn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gorzów Wlkp, Birmingham
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 12 razy

Re: 2020

Post autor: pkrwczn » 3 lip 2020, o 18:57

Ja to po prostu pomnożyłem w C. Jak się zero pojawiało na końcu do dzieliłem przez 10, jak wynik przekroczył miliard to ucinałem początek, więc mam tylko końcówkę bez zer czyli 522713997312. Teraz widzę, że w arkuszu kalkulacyjnym byłoby chyba łatwiej.

Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 986
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 192 razy
Pomógł: 5 razy

Re: 2020

Post autor: Niepokonana » 3 lip 2020, o 19:16

Elayne pisze:
30 cze 2020, o 02:01
Ukryta treść:    
A jak to Pan policzył?
Tak, na komputerze najłatwiej. :)

Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 793
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 246 razy

Re: 2020

Post autor: Elayne » 3 lip 2020, o 19:23

PS
Programowanie to nie moja działka, ale można Wolframa spytać jakie są dzielniki jakieś liczby co jest dużym plusem. Zabawa z własnościami liczb kwadratowych.

pkrwczn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gorzów Wlkp, Birmingham
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 12 razy

Re: 2020

Post autor: pkrwczn » 4 lip 2020, o 01:11

Szkoda, że system dziesiętny zawiera cyfrę 5. Bez tego byłoby łatwiej.

Dodano po 1 dniu 15 godzinach 35 minutach 25 sekundach:
Ad 2.
\(\displaystyle{ n!= \color{blue}1\cdot \color{red}2\cdot \color{blue}3\cdot \color{red}4\cdot \color{green}5\cdot \color{red}6\cdot \color{blue}7\cdot \color{red}8\cdot \color{blue}9\cdot \color{green}10\cdot \color{blue}11\cdot \color{red}12\cdot \color{blue}13\cdot \color{red}14\cdot \color{green}15\cdot \color{red}16\cdot \color{blue}17\cdot \color{red}18\cdot \color{blue}19\cdot \color{green}20\cdot \color{blue}21\cdot \color{red}22\cdot \color{black}... = \color{blue}g(n)\color{red}h(n)\color{green}k(n)}\).
Więc \(\displaystyle{ g(n)}\) to iloczyn wszystkich liczb naturalnych nieparzystych dodatnich niepodzielnych przez pięć, nie większych niż \(\displaystyle{ n}\).
\(\displaystyle{ h(n)}\) to iloczyn wszystkich liczb naturalnych parzystych dodatnich niepodzielnych przez pięć, nie większych niż \(\displaystyle{ n}\).
\(\displaystyle{ k(n)}\) to iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich podzielnych przez pięć, nie większych niż \(\displaystyle{ n}\). I wymnożenie tych trzech funkcji przez siebie daje silnię.

Wszystkie działania będą na liczbach naturalnych. Dzielenie jest zawsze bez reszty.
I mamy \(\displaystyle{ h(n)=g\left( \frac{n}{2} \right)h\left( \frac{n}{2}\right) \cdot 2^{ \frac{n}{2} - \frac{n}{10} }}\) ponieważ wszystkie liczby są parzyste, dzielimy przez dwa i wyciągamy je do przodu, zliczamy i przedstawiamy w postaci wykładnika.
\(\displaystyle{ k(n)=\left( \frac{n}{5} \right)! \cdot 5^{ \frac{n}{5} } }\), czyli podobnie, tylko robimy to samo z piątkami.

Będziemy próbowali dobrać do każdej piątki dwójkę w celu zamienienia jej w nieszkodliwą dziesiątkę. Wzór za silnię wygląda teraz tak,
\(\displaystyle{ n!=g(n)g\left( \frac{n}{2} \right)h\left( \frac{n}{2}\right) \cdot 2^{ \frac{n}{2} - \frac{n}{10} } \cdot 5^{ \frac{n}{5} } \left( \frac{n}{5} \right)! = g(n)g\left( \frac{n}{2} \right)h\left( \frac{n}{2}\right) \cdot 2^{ \frac{n}{2} - \frac{n}{10} - \frac{n}{5} } \cdot 10^{ \frac{n}{5} } \left( \frac{n}{5} \right)!}\)

Mamy rekurencję, którą należy wykonać mniej więcej \(\displaystyle{ \log_{5} n}\) razy.

\(\displaystyle{ 2020! = g(2020)g(1010)h(1010) \cdot 2^{808} \cdot 5^{404} \cdot 404!}\)
\(\displaystyle{ 404! = g(404)g(202)h(202) \cdot 2^{162} \cdot 5^{80} \cdot 80!}\)
\(\displaystyle{ 80! = g(80)g(40)h(40) \cdot 2^{32} \cdot 5^{16} \cdot 16!}\)
\(\displaystyle{ 16! = g(16)g(8)h(8) \cdot 2^{7} \cdot 5^{3} \cdot 3!}\)

\(\displaystyle{ 2020!=g(2020)g(1010)g(404)g(202)g(80)g(40)g(16)g(8)h(1010)h(202)h(40)h(8)\cdot 2^{506} \cdot 10^{503} \cdot 3!}\)

Interesują nas dwie ostatnie, niezerowe cyfry, więc następujące działania przeprowadzane będą na zbiorze liczby naturalnych, dwucyfrowych. Nie mogą mieć zera na końcu. Jak cyfr jest więcej niż 2 to początek ucinamy. Takie mają one właściwości. \(\displaystyle{ 76^2=5776=76^m=76}\). \(\displaystyle{ 10^m=1}\) dla dowolnej \(\displaystyle{ m\in \mathbb{N}^{+}}\).
\(\displaystyle{ g(10)=89}\), \(\displaystyle{ g(10m)=89^m}\), \(\displaystyle{ g(100)=g(1000)=g(100m)=1}\), \(\displaystyle{ h(10)=84}\), \(\displaystyle{ h(10m)=84^{m}}\), \(\displaystyle{ h(100m)=76}\), \(\displaystyle{ g(2020)=g(2000)g(20)=89^2}\), \(\displaystyle{ h(2020)=h(2000)h(20)=76^2 \cdot 84^2=76 \cdot 84^2}\), \(\displaystyle{ g(127)=89^2 \cdot 21 \cdot 23 \cdot 27}\), \(\displaystyle{ h(52)=89^5 \cdot 52}\) itd.

Mnożenie jest teraz przemienne, łączne, zamknięte. Argumentami funkcji mogą być dowolne liczby naturalne, dodatnie.

\(\displaystyle{ 2^m}\) jest funkcją cykliczną o okresie 20, czyli \(\displaystyle{ 2^m=2^{m-20}}\). \(\displaystyle{ 2^0}\) jest niezdefiniowane, bo zero jest też w naszym systemie niezdefiniowane i niepotrzebne.

\(\displaystyle{ 2020!= 89^2 \cdot 89 \cdot 3 \cdot 76 \cdot 2 \cdot 89^8 \cdot 89^4 \cdot 84^4 \cdot 89 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 84 \cdot 2^{25 \cdot 20+6}\cdot 3!}\)
\(\displaystyle{ 2020!=89^6\cdot 84^6 \cdot 76 \cdot 12 = 76\cdot12=12}\)

Algorytm powinien zadziałać dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\). Może spróbuję potem poudawadniać wszystkie lematy jeśli nie są oczywiste.Pewnie da się to zoptymalizować bo zawsze jest lepszy sposób.

pkrwczn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gorzów Wlkp, Birmingham
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 12 razy

Re: 2020

Post autor: pkrwczn » 22 lip 2020, o 01:42

kerajs pisze:
29 cze 2020, o 21:32
...
2) Rozwinięcie dziesiętne liczby \(\displaystyle{ 2020!}\) zakończone jest 503 cyframi 0.
a) Jaka cyfra parzysta jest na miejscu \(\displaystyle{ 10^{503}}\) ( czyli jaka jest pierwsza cyfra przed tymi 503 zerami)?
b*) Jaka jest pierwsza od prawej cyfra nieparzysta rozwinięcia dziesiętnego \(\displaystyle{ 2020!}\) i na którym miejscu ona się znajduje?
...
Zrobimy podaj dalej?

Jakie są dwie ostatnie, niezerowe cyfry \(\displaystyle{ 202020!}\)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7667
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 232 razy
Pomógł: 3026 razy

Re: 2020

Post autor: kerajs » 24 lip 2020, o 08:20

Będąc poniekąd wywołany do odpowiedzi:
\(\displaystyle{ 202020!=202019!!202020!!=202019!!2^{101010}101010!= \frac{202019!!}{5^{25251}}2^{50509} \frac{101010!}{5^{25250}}10^{50501}}\)
\(\displaystyle{ \frac{202019!!}{5^{25251}} \ mod \ 100=11 \\
2^{50509} \ mod \ 100 = 12 \\
\frac{101010!}{5^{25250}} \ mod \ 100=84\\
202020! \ mod \ 100=(11 \cdot 12 \cdot 84) \ mod \ 100=88}\)

Mam nadzieję że nie popełniłem błędu w rachunkach.


PS
@Niepokonana
Niepokonana pisze:
3 lip 2020, o 19:16
A jak to Pan policzył?
Tak, na komputerze najłatwiej. :)
Łatwo znaleźć trójkąty pitagorejskie o znanej przyprostokątnej.
Ukryta treść:    
Bardziej kłopotliwe jest szukanie trójkąta o znanej przeciwprostokątnej.
Ukryta treść:    
Dodano po 1 godzinie 59 minutach 22 sekundach:
kerajs pisze:
24 lip 2020, o 08:20
\(\displaystyle{ 202020! \ mod \ 100=(11 \cdot 12 \cdot 84) \ mod \ 100=88}\)
Przepraszam. Oczywiście że:
\(\displaystyle{ 202020! \ mod \ 100=0}\)
Natomiast tam miało być:
\(\displaystyle{ \frac{202020!}{10^{50501}} \ mod \ 100=(11 \cdot 12 \cdot 84) \ mod \ 100=88}\)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7667
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 232 razy
Pomógł: 3026 razy

Re: 2020

Post autor: kerajs » 30 lip 2020, o 10:34

Ad 3. Jest tylko siedem takich liczb:
\(\displaystyle{ 1210, 2020, 21200, 3211000, 42101000, 521001000, 6210001000}\)

ODPOWIEDZ