znajdz ulamki

clicki · Post autor: **clicki** » 13 gru 2008, o 16:00

Jezeli na dwoch ulamkach, z ktorych jeden jest odwrotnoscia drugiego, wykonamy kazde z 4 dzialan arytmetycznych i dodamy otrzymane wyniki, to otrzymamy 25/4. Znajdz te ulamki.

escargot · Post autor: **escargot** » 13 gru 2008, o 18:00

masz dwa ułamki \(\displaystyle{ \frac {a}{b}}\) , \(\displaystyle{ \frac{b}{a}}\) zapisz sobie te działaia i zauważ ze po skróceniu i dodaniu co się da otrzymasz równanie \(\displaystyle{ (\frac{a+b}{b})^2=(\frac{5}{2})^2}\)

smigol · Post autor: **smigol** » 13 gru 2008, o 18:05

escargot pisze:masz dwa ułamki \(\displaystyle{ \frac {a}{b}}\) , \(\displaystyle{ \frac{b}{a}}\) zapisz sobie te działaia i zauważ ze po skróceniu i dodaniu co się da otrzymasz równanie \(\displaystyle{ (\frac{a+b}{b})^2=(\frac{5}{2})^2}\)

Mi wychodzi lewa strona tak amo jednak prawa mi wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{25}{4}}\)

clicki · Post autor: **clicki** » 13 gru 2008, o 18:31

nie rozumiem dokonca... Moglbys evtl. rozpisac mi rownanie?

smigol · Post autor: **smigol** » 13 gru 2008, o 19:36

Pierwszy ułamek to: \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\)
drugi ułamek to: \(\displaystyle{ \frac{1}{ \frac{a}{b} } = \frac{b}{a}}\)
mamy działania arytmetyczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie.
Czyli suma tych wszystkich działań wykonanych na naszych dwóch ułamkach to:
\(\displaystyle{ \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) + ft(\frac{a}{b} - \frac{b}{a} \right) + ft( \frac{a}{b} \frac{b}{a} \right) + ft(\frac{a}{b} : \frac{b}{a} \right) = \frac{25}{4}}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{a^{2} + b ^{2}}{ab} \right) + \frac{a^{2} - b^{2}}{ab} + \frac{a^{2}}{b^{2}} = \frac{25}{4} -1}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^{2} + b ^{2} + a^{2} - b^{2} }{ab} + \frac{a^{2}}{b^{2}} = \frac{21}{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2a^{2}}{ab} + \frac{a ^{2} }{b^{2}} = \frac{21}{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2 ft(2ab + a ^{2} \right) }{ab^{2}} = \frac{21}{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2ab + a^{2}}{b^{2}} = \frac{21}{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2ab + a^{2}}{b^{2}} = \frac{21}{4}}\)
dodajemy obustronnie 1
\(\displaystyle{ 1+ \frac{2ab + a^{2}}{b^{2}} = \frac{25}{4}}\)
ale: \(\displaystyle{ 1= \frac{b^{2}}{b^{2}}}\)
wówczas:
\(\displaystyle{ \frac{b^{2} + 2ab + a^{2} }{b^{2}} = \frac{25}{4}}\)
zwijamy w wzór skróconego mnożenia.
\(\displaystyle{ \frac{ ft( a+b \right) ^{2}}{b^{2}} = \frac{25}{4}}\)
pierwiastkujemy obie strony równania, dalej łatwo.

** Być może szybciej by było nie odejmować tej jedynki, ale wydaje mi się, że tak jest przejrzyściej