podzielność liczby przez 2

[marty]

Udowodnij, że jeżeli n jest liczbą naturalna nieparzystą i każda z liczb 1,2,..,n jest wyrazem ciągu \(\displaystyle{ (a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})}\), to liczba \(\displaystyle{ (a_{1} -1)(a_{2} - 2) ... (a_{n} - n)}\) jest podzielna przez 2.

Jak to zrobić?

[Sylwek]

Gdyby każda z liczb: \(\displaystyle{ a_i-i}\) była nieparzysta, to wówczas, skoro n jest nieparzyste, to ich suma też byłaby nieparzysta, ale ich suma wynosi:
\(\displaystyle{ =\sum_{i=1}^{n} a_i - \sum_{i=1}^n i = (1+2+\ldots+n)-(1+2+\ldots+n)=0}\) - sprzeczność.