Matematyka.pl

NWD dwoch liczb naturalnych wynosi 6, a NWW liczb jest rowna 210. Znajdz te liczby.

proszę o wtlumaczenie tego zadania
z gory dziekuję

Z własności \(\displaystyle{ NWD(a,b)*NWW(a,b)=a*b}\) mamy \(\displaystyle{ a*b=1260}\). W rozkładzie obu liczb występuje 2 i 3. Zauwaz ze NWW(a,b) to a pomnozone przez wszytskie czynniki b z wyjatkiem 2 i 3. Zatem
Skoro \(\displaystyle{ 210:6=35}\) (35=7*5) to \(\displaystyle{ a=2*3*5=30 , b=2*3*7=42}\)

dzieki rozumiem... tak z rozpędu moglibyscie pomoc z jeszcze 2 zadaniami?:p

1. Wykaż, ze dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ n^{5}-n}\) jest podzielna przez 30

2. Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 3 to \(\displaystyle{ p^{2}-1}\) jest liczbą podzielną przez 24.

2) \(\displaystyle{ p^{2}-1=(p+1)(p-1)}\) Skoro p to liczba pierwsza większa od 3 to jeden z czynnikow jest napewno podzielny przez cztery a drugi przez dwa bo to dwie kolejne liczby parzyste. Dodatkwo jeden z nich napewno jest podzielny przez 3, bo skoro p to liczba pierwsza wieksza od 3, to ma reszte z dzielenia przez 3 rozna od 0, zas powiekszona lub pomniejszona o 1 musi dzielic sie przez 3. Skoro dzieli sie przez 2,4,3 to dzieli sie przez 24

Ad 1
Sprawdź różne możliwe reszty z dzielenia przez 5 liczb n:
1.
\(\displaystyle{ n\equiv 0\ (mod\ 5)\\
n^5\equiv 0\ (mod\ 5)\\
n^5-n\equiv 0\ (mod\ 5)}\)
2.
\(\displaystyle{ n\equiv 1\ (mod\ 5)\\
n^5\equiv1\ (mod\ 5)\\
n^5-n\equiv 0\ (mod\ 5)}\)
3.
\(\displaystyle{ n\equiv 2\ (mod\ 5)\\
n^5\equiv 32\equiv 2\ (mod\ 5)\\
n^5-n\equiv 0\ (mod\ 5)}\)
I podobnie pozostałe dwa przypadki.

nie rozumiem tego pierwszego... z wykazaniem ze liczba jest podzielna przez 30... proszę o dokladne wytlumaczenie...

nicik, a znasz kongruencję czy napisać innym sposobem?

lepiej innym sposobem.. bo to co napisalas to dla mnie nie zrozumiałe ;P

sposobem licealnym:
\(\displaystyle{ n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)}\)
po uszeregowaniu
\(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)(n^2+1)}\)
masz \(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)}\) to trzy kolejne liczby naturalne.
Spośród 2 kolejnych liczb naturalnych jedna dzieli sie przez 2, a spośród 3 jedna dzieli sie przez 3. czyli jest podzielność przez 6.

jeżeli n daje resztę 0,1,4 przy dzieleniu przez 5 to jedna z tych trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 5.
Zostały przypadki, gdy \(\displaystyle{ n=5*k+2}\) lub \(\displaystyle{ n=5*k+3}\)
wtedy \(\displaystyle{ n^2+1=25*k^2+5}\) lub \(\displaystyle{ 25*k^2+10}\) czyli ostatni czynnik iloczynu jest podzielny przez 5.
Więc mamy podzielność przez \(\displaystyle{ 5*6=30}\)
Sam nie wiem, która metoda jest krótsza.