Dowód podzielności przez 100

[poetaopole]

Wykaż, że jeżeli liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\) jest niepodzielna przez 5, to liczba \(\displaystyle{ (n-1)(n+1)( n^{2}+1)( n^{4}+4) }\) jest podzielna przez 100.

Pokazałem podzielność przez \(\displaystyle{ 5 \cdot 5=25}\) dla \(\displaystyle{ n=5k-1, n=5k+1, n=5k-2, n=5k+2}\), gdzie k jest liczbą naturalna, ale nie potrafię pokazać podzielności przez 4. Pomoże ktoś?

[a4karo]

Rozpatrz dwa przypadku `n` parzyste i nieparzyste.

[poetaopole]

Dla n nieparzystego otrzymuję podzielność przez 16 (wystarczy mi podzielność przez 4)

Dodano po 2 minutach 56 sekundach:
ale dla n parzystego... aha! ostatni nawias daje mi podzielność przez \(\displaystyle{ 2 ^{4} +4=20}\). Dobrze rozumuję?

[a4karo]

No nie. dostajesz tylko podzielność ostatniego czynnika przez 4. Poza tym ok

[poetaopole]

No nie? Przecież staram się udowodnić podzielność przez 4.

Dodano po 44 sekundach:
Podzielność przez 25 udowodniłem wcześniej

[Janusz Tracz]

Można też zauważyć (zapisując odpowiednie wielomiany w innej bazie), że

\begin{split}
(5 n+1-1) (5 n+1+1) \left((5 n+1)^2+1\right) \left((5 n+1)^4+4\right) & = 1683500 {n \choose 1} +211035800 {n \choose 2} \\
& \, +3657006000 {n \choose 3} +21922470000 {n \choose 4} \\
& \, +60527250000 {n \choose 5} +84577500000{n \choose 6}\\
& \, +58275000000 {n \choose 7} +15750000000 {n \choose 8}
\end{split}

\begin{split}
(5 n+2-1) (5 n+2+1) \left((5 n+2)^2+1\right) \left((5 n+2)^4+4\right) & = 300 {n \choose 0} + 5771700 {n \choose 1} \\
& \, +418500200 {n \choose 2}+5703192000 {n \choose 3} \\
& \,+29529720000 {n \choose 4}+73536750000 {n \choose 5} \\
& \, +94972500000 {n \choose 6}+61425000000 {n \choose 7}\\
& \, +15750000000 {n \choose 8}
\end{split}

\begin{split}
(5 n+3-1) (5 n+3+1) \left((5 n+3)^2+1\right) \left((5 n+3)^4+4\right) & =6800 {n \choose 0} + 16782700 {n \choose 1} \\
& \,+ 782244200 {n \choose 2} + 8623188000 {n \choose 3} \\
& \, + 39058470000 {n \choose 4} + 88373250000 {n \choose 5} \\
& \, + 105997500000 {n \choose 6} + 64575000000 {n \choose 7} \\
& \, + 15750000000 {n \choose 8}
\end{split}

\begin{split}
(5 n+4-1) (5 n+4+1) \left((5 n+4)^2+1\right) \left((5 n+4)^4+4\right) & =66300 {n \choose 0} + 43000100 {n \choose 1}\\
& \,+1389837800 {n \choose 2} + 12685374000 {n \choose 3} \\
& \, + 50823720000 {n \choose 4} + 105162750000 {n \choose 5} \\
& \, + 117652500000 {n \choose 6}+ 67725000000 {n \choose 7} \\
& \, +15750000000 {n \choose 8}
\end{split}

a ponieważ liczby po prawej zawsze mają dwa zera na końcu teza jest udowodniona.

[arek1357]

Można dużo krócej:

\(\displaystyle{ n=5k+r, r=1,2,3,4}\)

Po podstawieniu do wzoru i skróceniu modulo 100, otrzymamy:

\(\displaystyle{ 25k^4(k^4+3)+50k^2r^2(k^2r^2+1)+20kr^3(2r^4+3)+(r^8+3r^4-4)}\)

Łatwo zauważyć, że każdy z tych czynników i ostatni nawias zawsze dzieli się przez \(\displaystyle{ 100}\)...

[a4karo]

Można dużo krócej:

\(\displaystyle{ n=5k+r, r=1,2,3,4}\)

Po podstawieniu do wzoru i skróceniu modulo 100, otrzymamy:

\(\displaystyle{ 25k^4(k^4+3)+50k^2r^2(k^2r^2+1)+20kr^3(2r^4+3)+(r^8+3r^4-4)}\)

Łatwo zauważyć, że każdy z tych czynników i ostatni nawias zawsze dzieli się przez \(\displaystyle{ 100}\)...

Chyba Cię matka nie kochała.

[arek1357]

a który nawias ci się nie dzieli? przez 100

Dodano po 7 godzinach 3 minutach 25 sekundach:
Jakieś głupoty...

[a4karo]

Można dużo krócej:

[arek1357]

A co nie było to krócej?

[a4karo]

No nie? Przecież staram się udowodnić podzielność przez 4.

Dodano po 44 sekundach:
Podzielność przez 25 udowodniłem wcześniej

Ale podzielnośc jednego skłądnika przez `2^4` a drugiego przez `4` nie oznacza podzielności sumy przez `20`

Dodano po 16 godzinach 40 minutach 16 sekundach:

A co nie było to krócej?

Zależy jak krótkość zdefiniujesz. Dla mnie nie jest, bo dojście do tej postaci, a potem sprawdzenie na palcach dwóch ostatnich podzielności wymaga dużo więcej pracy niż pomysł autora.

No chyba, że odnosiłeś się do pomysłu Janusza Tracza, który tutaj zaszalał.