Największy wspólny dzielnik
-
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 14 paź 2021, o 19:47
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 19 razy
Największy wspólny dzielnik
Pomógłby ktoś rozwiązać takie zadanie:
\(\displaystyle{ NWW (x,y)=320}\)
\(\displaystyle{ NWD (x,y)=16}\)
Znajdź \(\displaystyle{ x,y}\).
\(\displaystyle{ NWW (x,y)=320}\)
\(\displaystyle{ NWD (x,y)=16}\)
Znajdź \(\displaystyle{ x,y}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 14 paź 2021, o 19:47
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 19 razy
Re: Największy wspólny dzielnik
Dlaczego \(\displaystyle{ 20 }\) została rozbita akurat na \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 5}\)?
-
- Administrator
- Posty: 34128
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Największy wspólny dzielnik
Jeżeli rozpiszesz rozkłady na czynniki pierwsze liczb \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), to \(\displaystyle{ \text{NWD}\,(x,y)}\) jest iloczynem tych czynników, które powtarzają się w obu rozkładach, a \(\displaystyle{ \text{NWW}\,(x,y)}\) jest iloczynem \(\displaystyle{ \text{NWD}\,(x,y)}\) oraz tych czynników, którymi te rozkłady się różnią.
Czyli jeśli \(\displaystyle{ x=a\cdot \text{NWD}\,(x,y)}\) i \(\displaystyle{ y=b\cdot \text{NWD}\,(x,y)}\), to \(\displaystyle{ \text{NWW}(x,y)=a\cdot b\cdot \text{NWD}\,(x,y)}\) i \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są względnie pierwsze.
Stąd dla Twoich danych masz \(\displaystyle{ 320=a\cdot b\cdot 16}\), skąd \(\displaystyle{ a\cdot b=20}\). Teraz musisz zastanowić się, jak można przedstawić \(\displaystyle{ 20}\) jako iloczyn dwóch liczb względnie pierwszych. Są dwie możliwości: \(\displaystyle{ 1\cdot 20=20}\) i \(\displaystyle{ 4\cdot 5=20}\).
JK
Czyli jeśli \(\displaystyle{ x=a\cdot \text{NWD}\,(x,y)}\) i \(\displaystyle{ y=b\cdot \text{NWD}\,(x,y)}\), to \(\displaystyle{ \text{NWW}(x,y)=a\cdot b\cdot \text{NWD}\,(x,y)}\) i \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są względnie pierwsze.
Stąd dla Twoich danych masz \(\displaystyle{ 320=a\cdot b\cdot 16}\), skąd \(\displaystyle{ a\cdot b=20}\). Teraz musisz zastanowić się, jak można przedstawić \(\displaystyle{ 20}\) jako iloczyn dwóch liczb względnie pierwszych. Są dwie możliwości: \(\displaystyle{ 1\cdot 20=20}\) i \(\displaystyle{ 4\cdot 5=20}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Największy wspólny dzielnik
Dla dowolnych liczb naturalnych zachodzi równość
\(\displaystyle{ NWW(x, y)\cdot NWD(x, y) = x\cdot y. }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x\cdot y = 5120 \\ NWD (x,y) = 320 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x\cdot y = 5120 \\ NWW (x,y) = 16 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ x = 16 \cdot k , \ \ y = 16 \cdot l, \ \ k,l \in \NN, \ \ NWW(k, l ) = 1. }\)
\(\displaystyle{ 16\cdot k \cdot 16 \cdot l = 5120 }\)
\(\displaystyle{ k\cdot l = 20 }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} k = 1 \\ l = 20 \end{cases}, \ \ \begin{cases} k = 4 \\ l = 5 \end{cases}, \ \ \begin{cases} k = 5 \\ l = 4 \end{cases}, \ \ \begin{cases} k = 20 \\ l = 1 \end{cases}. }\)
\(\displaystyle{ NWW(x, y)\cdot NWD(x, y) = x\cdot y. }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x\cdot y = 5120 \\ NWD (x,y) = 320 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x\cdot y = 5120 \\ NWW (x,y) = 16 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ x = 16 \cdot k , \ \ y = 16 \cdot l, \ \ k,l \in \NN, \ \ NWW(k, l ) = 1. }\)
\(\displaystyle{ 16\cdot k \cdot 16 \cdot l = 5120 }\)
\(\displaystyle{ k\cdot l = 20 }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} k = 1 \\ l = 20 \end{cases}, \ \ \begin{cases} k = 4 \\ l = 5 \end{cases}, \ \ \begin{cases} k = 5 \\ l = 4 \end{cases}, \ \ \begin{cases} k = 20 \\ l = 1 \end{cases}. }\)