Podzielność dowodzenie

[Karolinaa0]

Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ 5\underbrace{3...3}4}\) jest podzielna przez 6. (pod klamrą jest napisane \(\displaystyle{ 2n+1}\))
Wiem, że aby liczba była podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\), to musi być podzielna zarówno przez \(\displaystyle{ 2}\) jak i \(\displaystyle{ 3}\).
Poniżej wklejam zdjęcie treści tego zadania:

Z góry bardzo dziękuję.

[piasek101]

1) Czy liczba jest podzielna przez 2 ? Dlaczego.
2) Czy liczba podzielna jest przez 3 ? Dlaczego.

[Karolinaa0]

Ja bym to zadanie rozwiązała w poniższy sposób (ale nie wiem, jak to zapisać prawidłowym językiem matematycznym lub może da się to zapisać krócej):
Żeby liczba była podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\), to musi być podzielna zarówno przez \(\displaystyle{ 2}\) jak i przez \(\displaystyle{ 3}\). Wykażemy to, wykorzystując znane cechy podzielności przez \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\):
1.) Skoro ostatnia cyfrą liczby \(\displaystyle{ 53...34}\) jest cyfra parzysta \(\displaystyle{ 4}\), to znaczy, że cała liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\).
2.) Gdy suma cyfr danej liczby jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), to znaczy, że liczba ta jest także podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).
\(\displaystyle{ 5+3+3(2n+1)+4=12+6n=3(4+2n)}\)
Wykazaliśmy, że liczba \(\displaystyle{ 53...34}\) jest podzielna zarówno przez \(\displaystyle{ 2}\) jak i przez \(\displaystyle{ 3}\), a więc jest również podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\)
cnw.

Dodano po 5 minutach 28 sekundach:
Również zastanawia mnie kwestia czy liczba \(\displaystyle{ 53...34}\) nie powinna być zapisana w takiej postaci: \(\displaystyle{ 5333...34}\)? Ciężko się domyśleć, że po trzykropku występują same trójki, poza tym w zasadach zapisywania elementów w zbiorze jest wyraźnie napisane, że powinny to być minimum trzy liczby nadające zasadę kolejności przed trzykropkiem i mininum jedna liczba po trzykropku.

[Bran]

\(\displaystyle{ 5+3+3(2n+1)+4=12+6n=3(4+2n)}\)

Błąd w obliczeniach.

Również zastanawia mnie kwestia czy liczba \(\displaystyle{ 53...34}\) nie powinna być zapisana w takiej postaci: \(\displaystyle{ 5333...34}\)? Ciężko się domyśleć, że po trzykropku występują same trójki, poza tym w zasadach zapisywania elementów w zbiorze jest wyraźnie napisane, że powinny to być minimum trzy liczby nadające zasadę kolejności przed trzykropkiem i mininum jedna liczba po trzykropku.

Kwestia przyzwyczajenia, myślę że tutaj sytuacja jest jasna. Zasada jest taka: Czytelnik nie powinien mieć wątpliwości, o jaki zbiór chodzi. Tutaj trudno pomylić z innym zbiorem, ale nie zawsze jest tak sympatycznie, zasada o której mówisz załatwia wiele przypadków, ale czasem jest to nadmiarowe, a czasem niewystarczające.

[piasek101]

Dodam, że o to chodzi w tym uzasadnieniu. O błędzie rachunkowym już było.