Suma dwóch liczb pierwszych (dowód)

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Suma dwóch liczb pierwszych (dowód)

Post autor: Niepokonana »

Dzień dobry

Zdecydowałam się wrócić do regularnego pisania wątków na forum. Proszę o pomoc z łatwym zadaniem, ale mam też trudniejsze.
Udowodnij, że liczby \(\displaystyle{ 2123}\) nie można zapisać w postaci sumy dwóch liczb pierwszych.
Moje zdanie jest takie, że \(\displaystyle{ 2123-2=2121}\), a \(\displaystyle{ 2121}\) nie jest liczbą pierwszą, bo dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\). W takim razie liczby \(\displaystyle{ 2123}\) nie można zapisać jako sumy dwójki i innej liczby pierwszej. A wszystkie inne liczby pierwsze są nieparzyste, a suma dwóch jakichkolwiek liczb nieparzystych jest parzysta. A \(\displaystyle{ 2123}\) jest nieparzysta. W związku z tym nie ma takich dwóch liczb pierwszych, które sumowałyby się do \(\displaystyle{ 2123}\). Dobrze myślę?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4054
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1389 razy

Re: Suma dwóch liczb pierwszych (dowód)

Post autor: Janusz Tracz »

Jest ok. Osobiście zmienił bym tylko kolejność w której wymieniasz fakty w tym dowodzie aby się to lepiej czytało. Najpierw zauważył bym, że jeśli \(\displaystyle{ 2123}\) miało by być sumą dwóch liczb pierwszych to jedna z tych liczb była by \(\displaystyle{ 2}\) itd...
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: Suma dwóch liczb pierwszych (dowód)

Post autor: Dilectus »

Wszystkie liczby pierwsze, za wyjątkiem liczby 2, są nieparzyste. Suma dwóch niezerowych liczb jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z nich jest parzysta, a druga - nieparzysta,
Wobec tego liczba 2123 musi być sumą liczby parzystej i nieparzystej. A jeśli tak, to jednym z czynników sumy jest jedyna parzysta liczba pierwsza, czyli liczba 2.
Policzmy:

\(\displaystyle{ 2123-2= 2121}\)

a liczba 2121 nie jest liczbą pierwszą.

A zatem liczby 2123 nie można zapisać w postaci sumy dwóch liczb pierwszych.

:)
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Suma dwóch liczb pierwszych (dowód)

Post autor: Niepokonana »

No tak, racja. Dzięki za pomoc.

Dzięki za pomoc Dilectus, ale wolę sama zrobić, ale Twój pomysł też ma sens.
ODPOWIEDZ