Udowodnij, że liczba (1+1/2+1/3+...+1/2005)*2*3*4*...*2005
a)jest całkowita
b)dzieli się przez 2006
wskazówka 1003=13*59
podzielność przez 2006
-
Ptaq666
- Użytkownik
- Posty: 478
- Rejestracja: 10 wrz 2006, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piła / Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 154 razy
podzielność przez 2006
chyba 17*59 to jest w miare proste, zobacz
\(\displaystyle{ (1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2005}) 2*3*4* ... *2005) =}\)
\(\displaystyle{ = 2005 ! + \frac{2005 !}{2} + \frac{2005 !}{3} + ... +2004 !}\)
znając definicję silni wiemy, że każdy z dodawanych wyrazów zawiera w sobie działanie 2*17*59 = 2006 co czyni go podzielnym przez 2006. Jeśli nie zawiera czynnika 2*17*59 = 2006 to zawiera czynnik 4*17*59 = 2*2006 i również jest podzielny przez 2006. To samo z brakiem czynników 17 lub 59. Można je zastąpić czynnikami 118 oraz 34 które po wymnożeniu dadzą również 2*2006
\(\displaystyle{ (1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2005}) 2*3*4* ... *2005) =}\)
\(\displaystyle{ = 2005 ! + \frac{2005 !}{2} + \frac{2005 !}{3} + ... +2004 !}\)
znając definicję silni wiemy, że każdy z dodawanych wyrazów zawiera w sobie działanie 2*17*59 = 2006 co czyni go podzielnym przez 2006. Jeśli nie zawiera czynnika 2*17*59 = 2006 to zawiera czynnik 4*17*59 = 2*2006 i również jest podzielny przez 2006. To samo z brakiem czynników 17 lub 59. Można je zastąpić czynnikami 118 oraz 34 które po wymnożeniu dadzą również 2*2006