Skomplikowane zadanie z wykazaniem że coś dzieli coś

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
student_matematyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 15 maja 2020, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22
Podziękował: 3 razy

Skomplikowane zadanie z wykazaniem że coś dzieli coś

Post autor: student_matematyk »

Witam!

Oto zadanie:
Pokaż  że \(\displaystyle{ \left(2^{xy}-x\right)|\left(x^y-2^{xy^2}\right)}\) dla \(\displaystyle{ \left(y=1\:\wedge \:x\ge 3\right)\vee \left(y\ge 2\:\wedge \:x\in \mathbb{N}\right)}\)
Nie wiem co robić, bo gdy zrobię, że \(\displaystyle{ y=1}\) to licznik i mianownik się zerują i dostanę \(\displaystyle{ -1}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\), a nie że tylko dla \(\displaystyle{ x \ge 3}\).
Ostatnio zmieniony 20 paź 2020, o 08:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Poprawa tematu: wykazaniem. Temat umieszczony w złym dziale.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34073
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5191 razy

Re: Skomplikowane zadanie z wykazaniem, że coś dzieli coś

Post autor: Jan Kraszewski »

student_matematyk pisze: 20 paź 2020, o 01:46Nie wiem co robić, bo gdy zrobię, że \(\displaystyle{ y=1}\) to licznik i mianownik się zerują i dostanę \(\displaystyle{ -1}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\), a nie że tylko dla \(\displaystyle{ x \ge 3}\).
Po pierwsze, nie ma żadnego licznika i mianownika, bo to relacja podzielności, a nie operacja dzielenia. No i oczywiście nic się nie zeruje.

Po drugie, jeżeli dostajesz silniejszą tezę od oczekiwanej, to co za problem?

JK

PS Po trzecie, to wcale nie jest takie skomplikowane zadanie...
student_matematyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 15 maja 2020, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22
Podziękował: 3 razy

Re: Skomplikowane zadanie z wykazaniem że coś dzieli coś

Post autor: student_matematyk »

Była prawie w drugiej nocy i byłem prawie na nogach 24h, więc przepraszam za powiedzmy "literówki". Oczywiście miałem na myśli że gdy my relację podzielności byśmy przedstawili jako ułamek, że wtedy licznik i mianownik się skreślają (a nie zerują oczywiście), że wtedy byśmy mogli wywnioskować (ponieważ dostalibyśmy stałą całkowitą) że jednak dla dowolnego x relacja zachodzi.

Tylko że problem w tym że Pan (na ćwiczeniach) podkreślił że w tym przypadku tylko dla x większe/równe 3, z czego wynika właśnie to pytanie

"Skomplikowane" miałem bardziej na myśli co do "wyglądu" zadania, może byłoby lepiej napisać "skomplikowano wyglądające".

A jak drugą część zadania udowodnić, iż dla y większe równe 2 i x dowolne naturalne zachodzi relacja?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34073
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5191 razy

Re: Skomplikowane zadanie z wykazaniem że coś dzieli coś

Post autor: Jan Kraszewski »

student_matematyk pisze: 20 paź 2020, o 12:47 Oczywiście miałem na myśli że gdy my relację podzielności byśmy przedstawili jako ułamek, że wtedy licznik i mianownik się skreślają (a nie zerują oczywiście),
Relacji podzielności nie przedstawiamy jako ułamek - jak chciałbyś przedstawić, że \(\displaystyle{ 0\mid 0?}\)
student_matematyk pisze: 20 paź 2020, o 12:47Tylko że problem w tym że Pan (na ćwiczeniach) podkreślił że w tym przypadku tylko dla x większe/równe 3, z czego wynika właśnie to pytanie
No to Pan na ćwiczeniach pomylił się.
student_matematyk pisze: 20 paź 2020, o 12:47A jak drugą część zadania udowodnić, iż dla y większe równe 2 i x dowolne naturalne zachodzi relacja?
To jest szczególna sytuacja znanej podzielności \(\displaystyle{ (a-b)\mid (a^n-b^n)}\), która wynika z ogólnie prawdziwego (nie tylko dla \(\displaystyle{ a,b\in\NN}\)) wzoru

$$a^n-b^n=(a-b)\cdot \sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k. $$

JK
student_matematyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 15 maja 2020, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22
Podziękował: 3 razy

Re: Skomplikowane zadanie z wykazaniem że coś dzieli coś

Post autor: student_matematyk »

Można przecież przedstawić jako ułamek, że:

\(\displaystyle{ m|a \Leftrightarrow \exists _{c\in \ZZ}\:\:c=\frac{a}{m}}\)

To mam na myśli, tylko że tutaj ten nasz "mianownik" (więc to co jest po lewej stronie relacji) i "licznik" (to po prawej stronie relacji) się dla y=1 skreślają (w ów postaci ułamkowej) i wychodzi nam stała, niezależnie od x

A czy 0 faktycznie dzieli 0? Dziwnie to brzmi, skoro 0 nic nie może dzielić co do zasady
Ostatnio zmieniony 20 paź 2020, o 14:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34073
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5191 razy

Re: Skomplikowane zadanie z wykazaniem że coś dzieli coś

Post autor: Jan Kraszewski »

student_matematyk pisze: 20 paź 2020, o 13:24 Można przecież przedstawić jako ułamek, że:

\(\displaystyle{ m|a\:<=>\:\exists _{c\in Z}\:\:c=\frac{a}{m}}\)
Nieprawda, definicja podzielności wygląda inaczej:

\(\displaystyle{ m|a \Leftrightarrow (\exists c\in \ZZ)\,a=cm.}\)
student_matematyk pisze: 20 paź 2020, o 13:24A czy 0 faktycznie dzieli 0? Dziwnie to brzmi, skoro 0 nic nie może dzielić co do zasady
Znów mylisz dzielenie z podzielnością - to są inne rzeczy.

JK
ODPOWIEDZ