Podzielność przez 3- dowód

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Podzielność przez 3- dowód

Post autor: Iza8723 »

Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ d _{n}d _{n-1}...d _{1}d _{0} }\) zapisana w systemie dziesiętnym dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\) wtedy i tylko
wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Podzielność przez 3- dowód

Post autor: Premislav »

Jeżeli jej zapis w systemie dziesiętnym to \(\displaystyle{ d_{n}s_{n-1}\ldots d_{1}d_{0}}\), to jest równa \(\displaystyle{ d_{n}\cdot 10^{n}+d_{n-1}\cdot 10^{n-1}+\ldots+d_{1}\cdot 10^{1}+d_{0}}\), a łatwo widać, że \(\displaystyle{ 10^{k}\equiv 1\pmod{3}}\) dla \(\displaystyle{ k\in \NN}\), wszak
\(\displaystyle{ \frac{10^{n}-1}{3}=\overbrace{33\ldots 3}^{n}}\), stąd
\(\displaystyle{ \left(10^{n}d_{n}+10^{n-1}d_{n-1}+\ldots+10^{1}d_{1}+d_{0}\right)\equiv(d_{n}+d_{n-1}+\ldots+d_{1}+d_{0})\pmod{3}}\).
NB to samo działa dla podzielności przez dziewięć, z w miarę oczywistych powodów (niewiele trzeba tu zmienić), i za moich czasów (OK boomer) uczono tego w podstawówce.
ODPOWIEDZ