Podzielność przez 2000

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
salvia_palth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 1 paź 2020, o 19:27
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 4 razy

Podzielność przez 2000

Post autor: salvia_palth »

Hej, nie mogę nigdzie znaleźć rozwiązania do zadania to napiszę tutaj.

Wykaż, że wyrażenie \(\displaystyle{ 101^{8} + 3 \cdot 101^{4} - 4}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2000}\).

\(\displaystyle{ t = 101^{4}}\)

\(\displaystyle{ t^{2} + 3t - 4 = 0}\)

\(\displaystyle{ t_1 = 1}\)
\(\displaystyle{ t_2 = -4}\)

\(\displaystyle{ (t-1)(t+4) = (101^{4}-1)(101^{4}+4) = }\)
\(\displaystyle{ (101^{2}-1)(101^{2}+1)(101^{4}+4) = }\)
\(\displaystyle{ (101-1)(101+1)(101^{2}+1)(101^{4}+4) }\)

\(\displaystyle{ (101-1)(101+1) = 10200}\)
\(\displaystyle{ 101^{2} + 1 = 2k, k \in C }\)
\(\displaystyle{ 101^{4} + 4 = 5n, n \in C }\)

\(\displaystyle{ 10200 \cdot 2k \cdot 5n}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2000}\).

Czy to jest poprawne rozwiązanie do tego zadania? Czy potrzebny jest jakiś dłuższy komentarz?
Ostatnio zmieniony 11 paź 2020, o 15:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34073
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5191 razy

Re: Podzielność przez 2000

Post autor: Jan Kraszewski »

Jest poprawne, ale wniosek końcowy można zapisać lepiej. Poza tym mnie brakuje wyjaśnienia, dlaczego \(\displaystyle{ 101^{4} + 4 = 5n}\) (w sumie \(\displaystyle{ 101^{2} + 1 = 2k}\) też można słownie wyjaśnić).

JK
ODPOWIEDZ