Ciąg liczb pierwszych

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
slabymatematyk99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 6 kwie 2020, o 15:39
Płeć: Mężczyzna
wiek: 23
Podziękował: 4 razy

Ciąg liczb pierwszych

Post autor: slabymatematyk99 »

Ile liczb pierwszych znajduje się w każdym z ciagów:

a) \(\displaystyle{ 23, 253, 2553, 25553, 255553 .. }\)
b) \(\displaystyle{ 41, 451, 4551, 45551, 45551... }\)
c) \(\displaystyle{ 17, 187, 1887, 18887, 188887, ... }\)
Z czego skorzystać rozwiązując to zadania? Jak to zrobić? na co się powołac?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Ciąg liczb pierwszych

Post autor: Premislav »

Można odgadnąć zależności rekurencyjne, które wiążą te wyrazy, na przykład w a) jest to
\(\displaystyle{ a_{1}=23, \ a_{n+1}=10a_{n}+23}\)
Stąd łatwo dowodzimy indukcyjnie, że każda liczba w tym ciągu jest podzielna przez \(\displaystyle{ 23}\), a więc tylko pierwszy wyraz, równy \(\displaystyle{ 23}\), jest liczbą pierwszą.

Ogólnie tutaj w każdym z przykładów mamy ciąg o rekurencji \(\displaystyle{ a_{1}=\text{ jakaś tam liczba pierwsza }, \ a_{n+1}=10a_{n}+a_{1}}\) i to się rozwiązuje tak samo.
slabymatematyk99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 6 kwie 2020, o 15:39
Płeć: Mężczyzna
wiek: 23
Podziękował: 4 razy

Re: Ciąg liczb pierwszych

Post autor: slabymatematyk99 »

Premislav pisze: 12 cze 2020, o 13:27 Można odgadnąć zależności rekurencyjne, które wiążą te wyrazy, na przykład w a) jest to
\(\displaystyle{ a_{1}=23, \ a_{n+1}=10a_{n}+23}\)
Stąd łatwo dowodzimy indukcyjnie, że każda liczba w tym ciągu jest podzielna przez \(\displaystyle{ 23}\), a więc tylko pierwszy wyraz, równy \(\displaystyle{ 23}\), jest liczbą pierwszą.

Ogólnie tutaj w każdym z przykładów mamy ciąg o rekurencji \(\displaystyle{ a_{1}=\text{ jakaś tam liczba pierwsza }, \ a_{n+1}=10a_{n}+a_{1}}\) i to się rozwiązuje tak samo.

Tylko niestety musi to być poziom podstwówka, liceum i dobre uzasadnienie :(
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4054
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1389 razy

Re: Ciąg liczb pierwszych

Post autor: Janusz Tracz »

Ja zauważyłem podobnie jak Przemek, tylko inny sposób doprowadził mnie do tych obserwacji wszak widać, że:

\(\displaystyle{ a_n=2 \cdot 10^n+ 5 \cdot \frac{10^n-1}{9}-2= 23 \cdot \frac{10^n-1}{9} }\)

jako, że \(\displaystyle{ 9|10^n-1}\) to \(\displaystyle{ 23|a_n}\).

albo jeszcze inaczej... po prostu zauważamy, że:

\(\displaystyle{ a_n=2\underbrace{555 \ldots 5} _{n-1 \text{ razy}}3=23 \cdot \underbrace{111 \ldots 1} _{n\text{ razy}}}\)

a zauważenie to polega na stosowaniu mnożenia w słupku.
ODPOWIEDZ