Podzielność jednocześnie przez 5 i 13.

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
slxshxr17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 3 cze 2020, o 18:28
Płeć: Mężczyzna
wiek: 16
Podziękował: 1 raz

Podzielność jednocześnie przez 5 i 13.

Post autor: slxshxr17 »

Witam, mam problem - otóż zakupiłem ostatnio książkę "200 zadań z elementarnej teorii liczb" W.Sierpniskiego. Zadanie 3 mnie trochę zadziwiło - jego treść brzmi:
Dowieść, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) dla których liczba \(\displaystyle{ 4n^{2}+1}\) jest podzielna jednocześnie przez \(\displaystyle{ 5}\) i \(\displaystyle{ 13}\).
Kombinuje i kombinuje i wykombinować nie mogę, no to sprawdzam sobie \(\displaystyle{ n=1}\):
\(\displaystyle{ 4 \cdot 1 + 1 = 5}\)

No i zonk - liczba ta przecież nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 13}\), sprawdzam więc \(\displaystyle{ n=2}\):
\(\displaystyle{ 4\cdot 4+1=17}\)

No i znów wychodzi mi, że ani ta liczba nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\) ani \(\displaystyle{ 13}\). Myślę więc, że zadanie już jest skreślone, gdyż nie istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\), gdyż już pierwsze dwie tworzą sprzeczność. W odpowiedziach jednak jest:
Takimi są na przykład wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), które są wyrazami postępu arytmetycznego \(\displaystyle{ 65k+56}\), gdzie \(\displaystyle{ k=0,1,2...}\); jeżeli bowiem \(\displaystyle{ n=65k+56}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą całkowitą \(\displaystyle{ \ge0}\), to \(\displaystyle{ n≡1 (\mod 5)}\) i \(\displaystyle{ n≡4 (\mod 13)}\), skąd \(\displaystyle{ 4n^{2}+1≡0 (\mod 5)}\) oraz \(\displaystyle{ 4n^{2}+1≡0 (\mod 13)}\), zatem \(\displaystyle{ 5\mid 4n^{2}+1}\) oraz \(\displaystyle{ 13\mid 4n^{2}+1}\).
Mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak? Skoro już dla \(\displaystyle{ n=1}\) i \(\displaystyle{ n=2}\) jest to nieprawda?
Ostatnio zmieniony 4 cze 2020, o 16:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22153
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Podzielność jednocześnie przez 5 i 13.

Post autor: a4karo »

Dla nieskończenie wielu nie znaczy, że dla wszystkich

Dodano po 6 minutach 9 sekundach:
Popatrz na taki przykład: nieskończenie wiele liczb naturalnych ma przynajmniej dwie cyfry.
Czy to zdanie jest prawdziwe?
No to zastosuj do niego swoje rozumowanie i popatrz co wyjdzie :)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4054
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1389 razy

Re: Podzielność jednocześnie przez 5 i 13.

Post autor: Janusz Tracz »

wskazówka:    
ODPOWIEDZ