Kombinuje i kombinuje i wykombinować nie mogę, no to sprawdzam sobie \(\displaystyle{ n=1}\):Dowieść, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) dla których liczba \(\displaystyle{ 4n^{2}+1}\) jest podzielna jednocześnie przez \(\displaystyle{ 5}\) i \(\displaystyle{ 13}\).
\(\displaystyle{ 4 \cdot 1 + 1 = 5}\)
No i zonk - liczba ta przecież nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 13}\), sprawdzam więc \(\displaystyle{ n=2}\):
\(\displaystyle{ 4\cdot 4+1=17}\)
No i znów wychodzi mi, że ani ta liczba nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\) ani \(\displaystyle{ 13}\). Myślę więc, że zadanie już jest skreślone, gdyż nie istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\), gdyż już pierwsze dwie tworzą sprzeczność. W odpowiedziach jednak jest:
Mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak? Skoro już dla \(\displaystyle{ n=1}\) i \(\displaystyle{ n=2}\) jest to nieprawda?Takimi są na przykład wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), które są wyrazami postępu arytmetycznego \(\displaystyle{ 65k+56}\), gdzie \(\displaystyle{ k=0,1,2...}\); jeżeli bowiem \(\displaystyle{ n=65k+56}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą całkowitą \(\displaystyle{ \ge0}\), to \(\displaystyle{ n≡1 (\mod 5)}\) i \(\displaystyle{ n≡4 (\mod 13)}\), skąd \(\displaystyle{ 4n^{2}+1≡0 (\mod 5)}\) oraz \(\displaystyle{ 4n^{2}+1≡0 (\mod 13)}\), zatem \(\displaystyle{ 5\mid 4n^{2}+1}\) oraz \(\displaystyle{ 13\mid 4n^{2}+1}\).