Podzielność przez najwyższa potęga liczby 2 (w funkcji wykładniczej)

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
zioleczko98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 6 kwie 2020, o 11:11
Płeć: Kobieta
wiek: 22

Podzielność przez najwyższa potęga liczby 2 (w funkcji wykładniczej)

Post autor: zioleczko98 »

Przez jaką najwyższą potęge liczby 2 dzieli się \(\displaystyle{ 2 ^{n^2+n} + 4 ^{n^{2}-n}}\) dla \(\displaystyle{ n \in \NN_{2}}\)
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8567
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Podzielność przez najwyższa potęga liczby 2 (w funkcji wykładniczej)

Post autor: kerajs »

Dla \(\displaystyle{ n>3}\) :
\(\displaystyle{ 2 ^{n^{2}+n} + 4 ^{n^{2}-n}=2 ^{n^{2}+n} + 2 ^{2(n^{2}-n)}=2 ^{n^{2}+n} (1+2 ^{n^{2}-3n} )}\)

osobno rozważ przypadki gdy \(\displaystyle{ n=2}\) oraz gdy \(\displaystyle{ n=3}\) .
zioleczko98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 6 kwie 2020, o 11:11
Płeć: Kobieta
wiek: 22

Re: Podzielność przez najwyższa potęga liczby 2 (w funkcji wykładniczej)

Post autor: zioleczko98 »

Dlaczego rozważać dla \(\displaystyle{ n=2}\) i \(\displaystyle{ n=3}\). Przepraszam jeśli to głupie pytanie, ale jeszcze nie mieliśmy zadań tego typu.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8567
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Podzielność przez najwyższa potęga liczby 2 (w funkcji wykładniczej)

Post autor: kerajs »

Zakładam że \(\displaystyle{ N_2=\left\{2,3,4,5,... \right\} }\)

Dla \(\displaystyle{ n>3}\) wyrażenie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2 ^{n^{2}+n}}\) gdyż czynnik \(\displaystyle{ (1+2 ^{n^{2}-3n} )}\) jest nieparzysty.
Jednak czy jest to prawdą dla \(\displaystyle{ n=3}\) lub \(\displaystyle{ n=2}\) ?
zioleczko98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 6 kwie 2020, o 11:11
Płeć: Kobieta
wiek: 22

Re: Podzielność przez najwyższa potęga liczby 2 (w funkcji wykładniczej)

Post autor: zioleczko98 »

Dla n=2 wyszło otrzymałam
\(\displaystyle{ 2^{4}(2^{2}+1)}\)
Dla n=3 wyszło
\(\displaystyle{ 2^{12}(2^{2}+1)}\)
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8567
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Podzielność przez najwyższa potęga liczby 2 (w funkcji wykładniczej)

Post autor: kerajs »

zioleczko98 pisze: 6 kwie 2020, o 12:28 Dla n=2 wyszło otrzymałam
\(\displaystyle{ 2^{4}(2^{2}+1)}\)
OK
zioleczko98 pisze: 6 kwie 2020, o 12:28 Dla n=3 wyszło
\(\displaystyle{ 2^{12}(2^{2}+1)}\)
A może jednak \(\displaystyle{ 2^{13}}\) ?
zioleczko98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 6 kwie 2020, o 11:11
Płeć: Kobieta
wiek: 22

Re: Podzielność przez najwyższa potęga liczby 2 (w funkcji wykładniczej)

Post autor: zioleczko98 »

Dla \(\displaystyle{ n=3}\) mamy \(\displaystyle{ 2^{13}}\) faktycznie mój błąd.
Jaki z tego wniosek? Bo chyba nie do końca rozumiem? Czy nie powinniśmy robić ogólnie zadania przez indukcję? (Tak wiem że indukcja powinna być dla \(\displaystyle{ n=1}\))
Ostatnio zmieniony 6 kwie 2020, o 12:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8567
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Podzielność przez najwyższa potęga liczby 2 (w funkcji wykładniczej)

Post autor: kerajs »

zioleczko98 pisze: 6 kwie 2020, o 12:45 Jaki z tego wniosek? Bo chyba nie do końca rozumiem?
Pytano o największą potęgę liczby 2 dzielącą wyrażenie. Odpowiedź to: \(\displaystyle{ 4}\) dla \(\displaystyle{ n=2}\) , \(\displaystyle{ 13}\) dla \(\displaystyle{ n=3}\) oraz \(\displaystyle{ n^2+n}\) dla \(\displaystyle{ n>3}\) . Nie można podać odpowiedzi tylko ostatnim wzorkiem gdyż dla \(\displaystyle{ n=2}\) i \(\displaystyle{ n=3}\) przyjmuje on błędną wartość.
zioleczko98 pisze: 6 kwie 2020, o 12:45 Czy nie powinniśmy robić ogólnie zadania przez indukcję?
A jaką tezę chcesz indukcyjnie udowodnić?
zioleczko98 pisze: 6 kwie 2020, o 12:45 Tak wiem że indukcja powinna być dla \(\displaystyle{ n=1}\)
Nie ma takiego nakazu. Przykładowo: nierówność \(\displaystyle{ n^3<2^n}\) można indukcyjnie wykazać dopiero dla \(\displaystyle{ n \ge 10 \wedge n \in \NN.}\)
Ostatnio zmieniony 6 kwie 2020, o 22:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ