Dowód z podzielnością

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
min4max
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 14 wrz 2017, o 19:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 10 razy

Dowód z podzielnością

Post autor: min4max »

Wykaż że dla każdego całkowitego \(\displaystyle{ n}\) jeśli \(\displaystyle{ d}\) jest taką liczbą całkowitą że \(\displaystyle{ d|(n+3) \wedge d|(n^2 + 5)}\) to \(\displaystyle{ d|14}\)

Udowodniłem to w ten sposób:
\(\displaystyle{ d = NWD((n+3),(n^2+5))}\)
\(\displaystyle{ n^2+5 = (n-3)(n+3)+14}\)
\(\displaystyle{ NWD((n+3),(n^2+5)) = NWD((n+3),((n+3)(n-3)+14)) = NWD((n+3),14) = d}\)
Z czego chyba widać, że \(\displaystyle{ d|14}\)

Czy jest jakiś inny sposób udowodnienia tego? Podobno mam w jakiś magiczny sposób połączyć \(\displaystyle{ d|(n+3) \wedge d|(n^2 + 5)}\), próbowałem skorzystać z \(\displaystyle{ d|x \wedge d|y \Rightarrow d|(x-y)}\) ale jakoś mi to chyba zbyt wiele nie dało
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4054
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1389 razy

Re: Dowód z podzielnością

Post autor: Janusz Tracz »

min4max pisze: 27 mar 2020, o 12:33 próbowałem skorzystać z \(\displaystyle{ d|x \wedge d|y \Rightarrow d|(x-y)}\) ale jakoś mi to chyba zbyt wiele nie dało
Jeśli \(\displaystyle{ d| (n+3)}\) to też \(\displaystyle{ d| (n+3)(n-3)}\) z drugiej strony wiemy, że \(\displaystyle{ d|n^2+5}\) zatem \(\displaystyle{ d| \left( n^2+5 - (n+3)(n-3) \right) }\) czyli \(\displaystyle{ d| 14 }\) teza.

Albo w języku kongruencji \(\displaystyle{ n+3 \equiv 0\bmod d }\) oraz \(\displaystyle{ n^2+5 \equiv 0\bmod d }\) więc również:

\(\displaystyle{ n^2+5 -(n-3)(n+3) \equiv 0\bmod d }\)

\(\displaystyle{ 14 \equiv 0\bmod d }\)

zatem faktycznie \(\displaystyle{ d|14}\)

Dodano po 4 minutach 22 sekundach:
Natomiast jeśli chodzi o Twoje rozwiązanie to nie zakładałbym, że \(\displaystyle{ d=\NWD (n+3, n^2+5)}\) (a przynajmniej nie wiem skąd miałoby to wynikać).
Ostatnio zmieniony 27 mar 2020, o 14:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22153
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Dowód z podzielnością

Post autor: a4karo »

Janusz Tracz pisze: 27 mar 2020, o 12:59

Dodano po 4 minutach 22 sekundach:
Natomiast jeśli chodzi o Twoje rozwiązanie to nie zakładałbym, że \(\displaystyle{ d=\NWD (n+3, n^2+5)}\) (a przynajmniej nie wiem skąd miałoby to wynikać).
Bo wystarczy pokazać twierdzenie w przypadku gdy `d=NWD(n+3,n^2+5)`
ODPOWIEDZ