Kiedy suma k - kolejnych jest podzielna przez k?

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
+pomocy+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 21 sty 2020, o 20:31
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 14 razy

Kiedy suma k - kolejnych jest podzielna przez k?

Post autor: +pomocy+ »

\(\displaystyle{ }\)Czy mógłby ktoś sprawdzić poprawność tego rozumowania? Zadanie: Dla jakich liczb całkowitych \(\displaystyle{ k}\) suma \(\displaystyle{ k}\) -kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez \(\displaystyle{ k}\)?
Suma \(\displaystyle{ k}\) - kolejnych liczb całkowitych dodając od końca to: \(\displaystyle{ k+k-1+k-2+...+1}\), czyli ciąg arytmetyczny i \(\displaystyle{ S_{k}= \frac{ k^{2} +k}{2} }\), Dla \(\displaystyle{ k}\) nieparzystych w postaci \(\displaystyle{ k=2l+1}\), gdzie \(\displaystyle{ l \in Z}\), dostałem wynik \(\displaystyle{ \frac{ 4l^{2} +6l+2}{2} = 2l^{2} +3l+1 }\). Ponieważ \(\displaystyle{ (2l^{2} +3l+1 ):(2l+1)=l+1=m}\), gdzie \(\displaystyle{ m \in Z}\), to mogę wsynuć tezę, że dla każdego \(\displaystyle{ k}\) nieparzystego suma \(\displaystyle{ k}\) -kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez \(\displaystyle{ k}\)? A następnie w analogiczny sposób sprawdzić to dla \(\displaystyle{ k}\) parzystych? Czy może jest jakieś twierdzenie o którym się nie mówi w szkole, a wynika z niego wprost jakaś własność?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4054
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1389 razy

Re: Kiedy suma k - kolejnych jest podzielna przez k?

Post autor: Janusz Tracz »

Jak dla mnie to zakładasz tu szczególną postać takiej sumy (ostatecznie okaże się nie mieć to znaczenia ale to wymaga komentarza). Nie jest powiedziane, że zaczynamy sumę od \(\displaystyle{ 1}\) czy od \(\displaystyle{ k}\). Ciąg \(\displaystyle{ k}\) kolejnych liczb całkowitych to

\(\displaystyle{ n+1,n+2,...,n+k}\)

Dla jakiegoś \(\displaystyle{ n\in\ZZ}\)

A suma jego wyrazów to:

\(\displaystyle{ nk+ \frac{1+k}{2}k }\)

Aby to wyrażanie podzieliło się przez \(\displaystyle{ k}\) ułamek \(\displaystyle{ \frac{1+k}{2} }\) musi być całkowity, a będzie całkowity, gdy \(\displaystyle{ 1+k}\) podzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\) (czyli będzie parzyste), czyli \(\displaystyle{ k}\) będzie nieparzyste.
+pomocy+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 21 sty 2020, o 20:31
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 14 razy

Re: Kiedy suma k - kolejnych jest podzielna przez k?

Post autor: +pomocy+ »

Dziękuje za wyjaśnienie
ODPOWIEDZ