Dane są liczby naturalne \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), takie że ich iloczyn jest podzielny przez \(\displaystyle{ 800}\).
Udowodnij, że jedna liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\).
Przyznam, że nie wiem jak do tego podejść. Raczej nie skorzystamy tutaj z cech podzielności liczb przez 8
Iloczyn podzielny przez 800
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Iloczyn podzielny przez 800
Mamy \(\displaystyle{ 2^{5}|800}\), wszak \(\displaystyle{ 800=32\cdot 25}\). Wskazówka:
wykładnik, z jakim liczba \(\displaystyle{ 2}\) wchodzi do rozkładu iloczynu \(\displaystyle{ ab}\) na czynniki pierwsze jest sumą wykładników, z jakimi ta liczba wchodzi do rozkładu \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).
wykładnik, z jakim liczba \(\displaystyle{ 2}\) wchodzi do rozkładu iloczynu \(\displaystyle{ ab}\) na czynniki pierwsze jest sumą wykładników, z jakimi ta liczba wchodzi do rozkładu \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Iloczyn podzielny przez 800
Zauważ, że \(\displaystyle{ 800}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\) dokładnie \(\displaystyle{ 5}\) razy. Zatem musi zajść jedna z możliwości:
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 2^5|a}\) i \(\displaystyle{ 2\not| b}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 2^4|a}\) i \(\displaystyle{ 2 | b}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 2^3|a}\) i \(\displaystyle{ 2^2| b}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 2^2|a}\) i \(\displaystyle{ 2^3| b}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 2|a}\) i \(\displaystyle{ 2^4| b}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 2\not|a}\) i \(\displaystyle{ 2^5| b}\)
Dodano po 1 minucie 30 sekundach:
Oczywiście w każdej z tych możliwości okazuje się, że \(\displaystyle{ 8}\) dzieli jedną z liczb \(\displaystyle{ a}\) lub \(\displaystyle{ b}\) bo zawsze gdzieś znajdzie się \(\displaystyle{ 2^3}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 2^5|a}\) i \(\displaystyle{ 2\not| b}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 2^4|a}\) i \(\displaystyle{ 2 | b}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 2^3|a}\) i \(\displaystyle{ 2^2| b}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 2^2|a}\) i \(\displaystyle{ 2^3| b}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 2|a}\) i \(\displaystyle{ 2^4| b}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 2\not|a}\) i \(\displaystyle{ 2^5| b}\)
Dodano po 1 minucie 30 sekundach:
Oczywiście w każdej z tych możliwości okazuje się, że \(\displaystyle{ 8}\) dzieli jedną z liczb \(\displaystyle{ a}\) lub \(\displaystyle{ b}\) bo zawsze gdzieś znajdzie się \(\displaystyle{ 2^3}\)