Podzielność przez 5

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
hidden55
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 14 gru 2018, o 10:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 14 razy

Podzielność przez 5

Post autor: hidden55 » 16 cze 2019, o 23:22

Chcę udowodnić, że \(\displaystyle{ n ^{5}-n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).
Czy mogę to zrobić korzystając z faktu, że
\(\displaystyle{ n ^{5} \equiv n \mod 5}\)
A więc reszta z dzielenia \(\displaystyle{ n ^{5}}\) i \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ 5}\) jest taka sama.
Czy na tej podstawię mogę wywnioskować, że \(\displaystyle{ n ^{5}-n}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\)?
Czy jest prawdziwe równanie i czy mogę z niego korzystać:
\(\displaystyle{ \left( n ^{p}-n \right) \mod p \equiv n ^{p} \mod p - n \mod p}\) ?
Ostatnio zmieniony 16 cze 2019, o 23:28 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Przystawanie to \equiv
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 503 razy

Re: Podzielność przez 5

Post autor: Zahion » 16 cze 2019, o 23:32

Czekaj, czekaj...
Chcesz udowodnić, że \(\displaystyle{ 5| n^{5} - n}\) (czyli de facto, że te dwie liczby dają taką samą resztę z dzielenia przez 5), korzystając z faktu, że te dwie liczby dają taką samą resztę z dzielenia przez 5 ?
Nie, Ty masz to udowodnić. Możesz ładnie rozpisać to wyrażenie, np. tak:
\(\displaystyle{ n^{5} - n = n(n^{4}-1) = n(n-1)(n+1)(\left(n^{2}-4\right) + 5) = \\ =(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 5n(n-1)(n+1)}\)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26196
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4377 razy

Podzielność przez 5

Post autor: Jan Kraszewski » 17 cze 2019, o 00:24

hidden55 pisze:Chcę udowodnić, że \(\displaystyle{ n ^{5}-n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).
Czy mogę to zrobić korzystając z faktu, że
\(\displaystyle{ n ^{5} \equiv n \mod 5}\)
A więc reszta z dzielenia \(\displaystyle{ n ^{5}}\) i \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ 5}\) jest taka sama.
Piękny, klasyczny dowód przez założenie tezy... Przerażająco skuteczny i zupełnie niepoprawny.

JK

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2646
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 839 razy

Re: Podzielność przez 5

Post autor: Janusz Tracz » 17 cze 2019, o 07:08

Można też zauważyć, że dla \(\displaystyle{ n}\) podzielnych przez \(\displaystyle{ 5}\) teza jest oczywista, dla pozostałych \(\displaystyle{ n}\) równoważnie z tezą mamy udowodnić \(\displaystyle{ n ^{4} \equiv 1 \mod 5}\) a to zrobimy wyrażając jako \(\displaystyle{ n=5m+r}\) gdzie \(\displaystyle{ m\in\NN}\) oraz \(\displaystyle{ r\in\left\{ 1,2,3,4\right\}}\). Wtedy teza przyjmuje postać \(\displaystyle{ 625m^4+500m^3r+150m^2r^2+20mr^3+r^4\equiv 1 \mod 5}\) to natomiast upraszcza się do \(\displaystyle{ r^4\equiv 1 \mod 5}\). Wystarczy teraz zauważyć, że jest to prawda dla \(\displaystyle{ r=1,2,3,4}\) co jest łatwym podstawianiem.

hidden55
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 14 gru 2018, o 10:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 14 razy

Re: Podzielność przez 5

Post autor: hidden55 » 17 cze 2019, o 10:11

Chciałem tutaj skorzystać z małego twierdzenia Fermata, a nie założenia tezy

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17714
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2988 razy

Re: Podzielność przez 5

Post autor: a4karo » 17 cze 2019, o 10:40

hidden55 pisze:Chciałem tutaj skorzystać z małego twierdzenia Fermata, a nie założenia tezy
No to musisz udowodnić, że \(\displaystyle{ 5}\) jest liczbą pierwszą. :}

Awatar użytkownika
xxDorianxx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 404
Rejestracja: 1 paź 2016, o 17:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 22 razy

Re: Podzielność przez 5

Post autor: xxDorianxx » 17 cze 2019, o 10:45

hidden55, Masz rację tylko krótko.Na mocy MTF \(\displaystyle{ n ^{5}-n \equiv 0\mod 5}\)

hidden55
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 14 gru 2018, o 10:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 14 razy

Re: Podzielność przez 5

Post autor: hidden55 » 17 cze 2019, o 18:14

A czy prawdziwe jest, że
\(\displaystyle{ \left( n ^{p}-n \right) \mod p \equiv n ^{p} \mod p - n \mod p}\) ?
Ostatnio zmieniony 17 cze 2019, o 22:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ