relacja kongruencji - wykazanie podzielności

[FrostEvil]

Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ 4^{2n+1}+3^{n+2}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 13}\)
Nie chcę gotowego rozwiązania a jedynie podpowiedź.

[Janusz Tracz]

Możesz spróbować indukcyjnie. To oczywiście nie jest jedyne rozwiązanie ale warto poćwiczyć na takim przykładzie.

[FrostEvil]

Właśnie teraz próbowałem, ale nie mogę rozwiązać ;/

[Janusz Tracz]

Wystarczy zauważyć, że:

\(\displaystyle{ 4^{2n+3}+3^{n+3}=13 \cdot 4^{2n+1}+3\left( 4^{2n+1}+3^{n+2}\right)}\)

i obłożyć to odpowiednim komentarzem.

[ivni]

Możesz też skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ 3^3\equiv 1 (\textrm{mod}\ 13)}\) oraz \(\displaystyle{ 4^2\equiv -3 (\textrm{mod}\ 13)}\).