Matematyka.pl

Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ 53^{53}- 33^{33}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 10}\)
Moje rozwiązanie:
Z relacji przystawania zapisałem :
\(\displaystyle{ 53^{53}- 33^{33}\equiv_{10} 0}\)
\(\displaystyle{ 53^{53}\equiv_{10} 33^{33}}\)

Dalej:
\(\displaystyle{ 53\equiv_{10} 3 /()^{53}}\)
\(\displaystyle{ 33\equiv_{10} 3 /()^{33}}\)
Odejmuje stronami
\(\displaystyle{ 53^{53}- 33^{33}\equiv_{10} 3^{53}-3^{33}}\)
Z powyższej kongruencji wynika, że liczba \(\displaystyle{ 3^{53}-3^{33}}\) musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 10}\) i teraz to udowadniam:
\(\displaystyle{ 3^{53}-3^{33}\equiv_{10} 0}\)
\(\displaystyle{ 3^{33}(3^{20}-1)\equiv_{10} 0}\) \(\displaystyle{ : 3^{33}}\) bo \(\displaystyle{ 3^{33}}\) i \(\displaystyle{ 10}\) są względnie pierwsze
\(\displaystyle{ 3^{20}-1\equiv_{10} 0}\)
\(\displaystyle{ 3^{2}\equiv_{10} -1}\) bo \(\displaystyle{ 3^{2}-(-1)=10}\)
\(\displaystyle{ 3^{2}\equiv_{10} -1 / ()^{20}}\)
\(\displaystyle{ 3^{20}\equiv_{10} 1 / -1}\)
\(\displaystyle{ 3^{20}-1 \equiv_{10} 0}\)
Czy to rozwiązanie jest poprawne?

Tak, jest ok. Wypadałoby dodać, że przekształcenia są równoważne.

440956.htm

JK