relacja kongruencji -sprawdzenie

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
FrostEvil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 7 sty 2015, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 1 raz

relacja kongruencji -sprawdzenie

Post autor: FrostEvil » 24 maja 2019, o 18:13

Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ 53^{53}- 33^{33}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 10}\)
Moje rozwiązanie:
Z relacji przystawania zapisałem :
\(\displaystyle{ 53^{53}- 33^{33}\equiv_{10} 0}\)
\(\displaystyle{ 53^{53}\equiv_{10} 33^{33}}\)

Dalej:
\(\displaystyle{ 53\equiv_{10} 3 /()^{53}}\)
\(\displaystyle{ 33\equiv_{10} 3 /()^{33}}\)
Odejmuje stronami
\(\displaystyle{ 53^{53}- 33^{33}\equiv_{10} 3^{53}-3^{33}}\)
Z powyższej kongruencji wynika, że liczba \(\displaystyle{ 3^{53}-3^{33}}\) musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 10}\) i teraz to udowadniam:
\(\displaystyle{ 3^{53}-3^{33}\equiv_{10} 0}\)
\(\displaystyle{ 3^{33}(3^{20}-1)\equiv_{10} 0}\) \(\displaystyle{ : 3^{33}}\) bo \(\displaystyle{ 3^{33}}\) i \(\displaystyle{ 10}\) są względnie pierwsze
\(\displaystyle{ 3^{20}-1\equiv_{10} 0}\)
\(\displaystyle{ 3^{2}\equiv_{10} -1}\) bo \(\displaystyle{ 3^{2}-(-1)=10}\)
\(\displaystyle{ 3^{2}\equiv_{10} -1 / ()^{20}}\)
\(\displaystyle{ 3^{20}\equiv_{10} 1 / -1}\)
\(\displaystyle{ 3^{20}-1 \equiv_{10} 0}\)
Czy to rozwiązanie jest poprawne?

Mruczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1110
Rejestracja: 26 paź 2008, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 155 razy

Re: relacja kongruencji -sprawdzenie

Post autor: Mruczek » 24 maja 2019, o 18:33

Tak, jest ok. Wypadałoby dodać, że przekształcenia są równoważne.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25102
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4183 razy

Re: relacja kongruencji -sprawdzenie

Post autor: Jan Kraszewski » 24 maja 2019, o 18:58

440956.htm

JK

Zablokowany