Matematyka.pl

Wykaż że kwadrat liczby całkowitej niepodzielnej przez 3 przy dzieleniu przez 3 daje reszte 1.

W internecie ciągle znajduje zapis "Liczby niepodzielne przez 3 to \(\displaystyle{ 3n-1}\) oraz \(\displaystyle{ 3n+1}\) ", lecz nie rozumiem trochę dlaczego -- 22 lut 2019, o 15:16 --

Bo liczba niepodzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) daję resztę z dzielenia równą \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\) przy czym jak daje \(\displaystyle{ 2}\) to można powiedzieć że wynosi ona \(\displaystyle{ -1}\) jest to równoważne. By dokończyć dowód trzeba podnieść te liczby do kwadratu i zauważyć w jaki sposób się zapisują (wskazówka: jako \(\displaystyle{ 3k+1}\))

Liczby niepodzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) są w postaci \(\displaystyle{ 3n+1}\) lub \(\displaystyle{ 3n+2}\),\(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\).
Kwadrat liczby niepodzielnej przez \(\displaystyle{ 3}\), to
\(\displaystyle{ (3n+1)^2=9n^2+6n+1=3(3n^2+2n)+\boxed{1}}\) lub
\(\displaystyle{ (3n+2)^2=9n^2+12n+4=3(3n^2+4n+1)+\boxed{1}}\)
Z kongruencji gdy \(\displaystyle{ m}\) daje resztę \(\displaystyle{ 2}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\) to,
\(\displaystyle{ m\equiv 2\equiv-1\bmod 3}\)
\(\displaystyle{ m^2\equiv2^2\equiv1\bmod 3}\)
gdy \(\displaystyle{ m}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\), to
\(\displaystyle{ m\equiv1\bmod3\\m^2\equiv1\bmod3}\)
Zapis \(\displaystyle{ 3n-1}\) jest podobny do \(\displaystyle{ 3h+2, n,h\in \mathbb{N}}\)