Suma ciągu geometrycznego podzielna przez 4, 7 i 13

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
min4max
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 14 wrz 2017, o 19:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 8 razy

Suma ciągu geometrycznego podzielna przez 4, 7 i 13

Post autor: min4max » 4 lut 2019, o 14:36

Mam problem z wykazaniem, że
\(\displaystyle{ 3 + 3 ^{2} + 3^{3} + 3^{4} + ... + 3^{90}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4, 7}\) i \(\displaystyle{ 13}\) udało mi się udowodnić podzielność przez \(\displaystyle{ 4}\), ale nie mam pojęcia jak zabrać się za \(\displaystyle{ 7}\) i \(\displaystyle{ 13}\).
Ostatnio zmieniony 7 lut 2019, o 18:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3722
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 85 razy
Pomógł: 359 razy

Suma ciągu geometrycznego podzielna przez 4, 7 i 13

Post autor: arek1357 » 4 lut 2019, o 15:52

Cała ta suma to:

(*) \(\displaystyle{ 3 \cdot \frac{3^{90}-1}{2}}\)

\(\displaystyle{ 3^{90}=\left( 3^7\right)^{12} \cdot 3^6=3^{12} \cdot 3^6=3^{18}=3^{14} \cdot 3^4=\left( 3^7\right)^2 \cdot 3^4=3^2 \cdot 3^4=3^6=1}\)

czyli:

\(\displaystyle{ 3^{90}=1}\)

lub krócej:

\(\displaystyle{ 3^{90}=\left( 3^6\right)^{15}=1^{15}=1}\)

podstaw do.: (*) i otrzymasz:

\(\displaystyle{ 3 \cdot \frac{1-1}{2}=0}\)

czyli wyszło , a dla 13 zrób to sam...

min4max
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 14 wrz 2017, o 19:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 8 razy

Suma ciągu geometrycznego podzielna przez 4, 7 i 13

Post autor: min4max » 4 lut 2019, o 16:28

arek1357 pisze:Cała ta suma to:

(*) \(\displaystyle{ 3 \cdot \frac{3^{90}-1}{2}}\)

\(\displaystyle{ 3^{90}=\left( 3^7\right)^{12} \cdot 3^6=3^{12} \cdot 3^6=3^{18}=3^{14} \cdot 3^4=\left( 3^7\right)^2 \cdot 3^4=3^2 \cdot 3^4=3^6=1}\)

czyli:

\(\displaystyle{ 3^{90}=1}\)

lub krócej:

\(\displaystyle{ 3^{90}=\left( 3^6\right)^{15}=1^{15}=1}\)

podstaw do.: (*) i otrzymasz:

\(\displaystyle{ 3 \cdot \frac{1-1}{2}=0}\)

czyli wyszło , a dla 13 zrób to sam...
Nie rozumiem kompletnie tych przekształceń, ale dzięki za naprowadzenie mnie na rozwiązanie
Rozumiem, że \(\displaystyle{ =}\) to miały być znaki przystawania?
Też nie bardzo rozumiem dlaczego możesz "podstawić" resztę z dzielenia tej liczby przez 7
Ostatnio zmieniony 4 lut 2019, o 16:34 przez min4max, łącznie zmieniany 1 raz.

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1440
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 368 razy

Suma ciągu geometrycznego podzielna przez 4, 7 i 13

Post autor: bosa_Nike » 4 lut 2019, o 16:29

\(\displaystyle{ 4|3+3^2,\ 7|3+3^4,\ 13|3+3^2+3^3}\)

ODPOWIEDZ