Udowodnij, że jeśli:
\(\displaystyle{ 9| a^{2} + ab + b^{2}}\)
to \(\displaystyle{ 3|a}\) i \(\displaystyle{ 3|b}\)
Podzielność wyrażenia przez 9
-
Ogorek00
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 2 sty 2017, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 42 razy
Podzielność wyrażenia przez 9
Ostatnio zmieniony 30 gru 2018, o 23:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Podzielność wyrażenia przez 9
Mamy \(\displaystyle{ a^2+ab+b^2=(a-b)^2+3ab}\)
Skoro \(\displaystyle{ 9}\) dzieli to wyrażenie, to \(\displaystyle{ 3}\) też je dzieli, stąd \(\displaystyle{ 3}\) dzieli \(\displaystyle{ (a-b)^2}\), więc przez sprzeczność łatwo mamy \(\displaystyle{ a\equiv b\pmod{3}}\). Stąd łatwo wywnioskować, że \(\displaystyle{ 9|(a-b)^2}\), a skoro \(\displaystyle{ 9|a^2+ab+b^2\wedge 9|(a-b)^2}\), to \(\displaystyle{ 9|3ab}\), dalej sama.
Skoro \(\displaystyle{ 9}\) dzieli to wyrażenie, to \(\displaystyle{ 3}\) też je dzieli, stąd \(\displaystyle{ 3}\) dzieli \(\displaystyle{ (a-b)^2}\), więc przez sprzeczność łatwo mamy \(\displaystyle{ a\equiv b\pmod{3}}\). Stąd łatwo wywnioskować, że \(\displaystyle{ 9|(a-b)^2}\), a skoro \(\displaystyle{ 9|a^2+ab+b^2\wedge 9|(a-b)^2}\), to \(\displaystyle{ 9|3ab}\), dalej sama.