Podzielność wyrażenia przez 9

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
Ogorek00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 2 sty 2017, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 42 razy

Podzielność wyrażenia przez 9

Post autor: Ogorek00 » 28 gru 2018, o 16:50

Udowodnij, że jeśli:
\(\displaystyle{ 9| a^{2} + ab + b^{2}}\)
to \(\displaystyle{ 3|a}\) i \(\displaystyle{ 3|b}\)
Ostatnio zmieniony 30 gru 2018, o 23:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14221
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 67 razy
Pomógł: 4662 razy

Podzielność wyrażenia przez 9

Post autor: Premislav » 28 gru 2018, o 16:55

Mamy \(\displaystyle{ a^2+ab+b^2=(a-b)^2+3ab}\)
Skoro \(\displaystyle{ 9}\) dzieli to wyrażenie, to \(\displaystyle{ 3}\) też je dzieli, stąd \(\displaystyle{ 3}\) dzieli \(\displaystyle{ (a-b)^2}\), więc przez sprzeczność łatwo mamy \(\displaystyle{ a\equiv b\pmod{3}}\). Stąd łatwo wywnioskować, że \(\displaystyle{ 9|(a-b)^2}\), a skoro \(\displaystyle{ 9|a^2+ab+b^2\wedge 9|(a-b)^2}\), to \(\displaystyle{ 9|3ab}\), dalej sama.

ODPOWIEDZ