Udowodnij, że liczba jest podzielna

[Bratower]

1.Udowodnij, że \(\displaystyle{ 3^{2n+1}+2^{n+2}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\) dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\)
2.Udowodnij, że \(\displaystyle{ 4^{2^n}+2^{2^n}+1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\) dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\)
Proszę o jakaś wskazówkę
(mała edycja drugiego pytania)

[Premislav]

Oba przykłady można załatwić indukcją matematyczną.
Można też z kongruencji: np.
\(\displaystyle{ 3^{2n+1}=3\cdot 9^n}\)
i \(\displaystyle{ 9\equiv 2\pmod{7}\\ 9^n\equiv 2^n\pmod{7}}\),
i dalej łatwo.

[Bratower]

Oba przykłady można załatwić indukcją matematyczną.
Można też z kongruencji: np.
\(\displaystyle{ 3^{2n+1}=3\cdot 9^n}\)
i \(\displaystyle{ 9\equiv 2\pmod{7}\\ 9^n\equiv 2^n\pmod{7}}\),
i dalej łatwo.

Spróbuje z kongruencji właściwie o takie rozwiązanie mi chodziło od indukcji matematycznej wole się trzymać z daleko bo już kiedyś próbowałem ponad 2 godz i mi nie wyszło -- 20 gru 2018, o 20:54 --Udowodnij, że \(\displaystyle{ 3^{2n+1}+2^{n+2}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\) dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ 3^2\equiv2\bmod7\\3^{2n}\equiv2^n\bmod7\\3^{2n}\cdot3=3^{2n+1}\equiv2^n\cdot3\bmod7\\3^{2n+1}+{\red 2^{n+2}}\equiv2^n\cdot3+{\red 2^{n+2}}=7\cdot2^n\equiv0\bmod7}\)
co należało dowieść
Z tym drugim się meczę ale nie mam pomysłu na kongruencje

[Premislav]

Pierwsze rozwiązałeś poprawnie.

Czy drugie na pewno jest dobrze przepisane? Nie wydaje mi się, wszak \(\displaystyle{ 4^3\equiv 1\pmod{7}}\) i stąd \(\displaystyle{ 4^{3n} \equiv 1\pmod{7}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\), stąd natychmiast widać, że dla \(\displaystyle{ n}\) podzielnych przez trzy wyrażenie
\(\displaystyle{ (4^2)^n+(2^2)^n+1}\)
nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 7}\).-- 20 gru 2018, o 20:53 --dobra, w drugim miało być
\(\displaystyle{ 4^{2^n}+2^{2^n}+1}\), zauważ, że
\(\displaystyle{ 4^{3k}\equiv 1\pmod{7}}\) i jedna z liczb \(\displaystyle{ 2^n-1, \ 2^n-2}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), dalej nie powinno być wielkich problemów