Matematyka.pl

Ile jest takich czterocyfrowych liczb podzielnych przez 11, których cyfrą setek i cyfrą jedności jest 8? Podaj te liczby.

Oczywiście łatwo można podać te liczby. Ale chodzi mi tutaj o rozwiązanie tego. Bo nie umiem tego zapisać.

Szukaną liczbę możemy przedstawić w postaci: \(\displaystyle{ a_3 10^3 + a_2 10^2 + a_1 10^1 + a_0 10^0}\), gdzie \(\displaystyle{ a_3,a_2,a_1,a_0 \{0, 1, ..., 9\}}\) i \(\displaystyle{ a_3\neq 0}\).
Liczba \(\displaystyle{ a_3 10^3 + a_2 10^2 + a_1 10^1 + a_0 10^0}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\) wtw, gdy \(\displaystyle{ 11|a_3+a_1-a_2-a_0}\) Ponieważ z zadania mamy \(\displaystyle{ a_2=a_0=8}\), więc żeby liczba \(\displaystyle{ a_3 10^3 + a_2 10^2 + a_1 10^1 + a_0 10^0}\) była podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\) liczba \(\displaystyle{ a_3+a_1-16}\) musi być podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\) Jednak \(\displaystyle{ a_3, a_1\in \{0, 1, ..., 9\}}\) i \(\displaystyle{ a_3\neq 0}\) więc \(\displaystyle{ -15 q a_3+a_1-16 q 2}\). Zatem, żeby \(\displaystyle{ 11|a_3+a_1-16}\) musi być \(\displaystyle{ a_3+a_1-16=-11}\) lub \(\displaystyle{ a_3+a_1-16=0}\), czyli \(\displaystyle{ a_3+a_1=5}\) lub \(\displaystyle{ a_3+a_1=16}\). Mamy stąd następujące możliwości:
\(\displaystyle{ =}\)
\(\displaystyle{ =}\)
\(\displaystyle{ =}\)
\(\displaystyle{ =}\)
\(\displaystyle{ =}\)
\(\displaystyle{ =}\)
\(\displaystyle{ =}\)
\(\displaystyle{ =}\)

Odpowiedź: Te liczby to \(\displaystyle{ 1848, \ 2838, \ 3828, \ 4818, \ 5808, \ 7898, \ 8888, \ 9878}\).

Odpowiedź powinna być następująca:

Tych liczb jest 8. Najmniejsza to 1848 a największa 9878.Można to sprawdzić na kalkulatorze. Nadal nie wiem jak to zapisać. Twój zapis pewnie jest częściowo dobry, ale gdzieś musi być błąd.

Hmm, kolega mms nie uwzględnił jeszcze przypadków, gdy \(\displaystyle{ a_{1}+a_{3}=16}\), czyli liczb:

7898
8888
9878

I by było na tyle

Masz rację Sylwek. Też to przeanalizowałem i zauważyłem. Dzięki Wam obu za pomoc.

Sylwek pisze:Hmm, kolega mms nie uwzględnił jeszcze przypadków, gdy \(\displaystyle{ a_{1}+a_{3}=16}\), czyli liczb:

7898
8888
9878

To prawda, zapomniałem o tym. Ale po uwzględnieniu tego przypadku jest ok.