Dowód cechy podzielności przez 13

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
anetooaa123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 6 cze 2018, o 21:11
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce

Dowód cechy podzielności przez 13

Post autor: anetooaa123 » 20 lis 2018, o 21:58

Witam, proszę o pokazanie lub przeprowadzenie zadania z dowodem podzielności przez \(\displaystyle{ 13}\) opierającym się na kongruencji.
Ostatnio zmieniony 20 lis 2018, o 22:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2281
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 65 razy
Pomógł: 682 razy

Re: Dowód cechy podzielności przez 13

Post autor: Janusz Tracz » 20 lis 2018, o 22:46

Jako że \(\displaystyle{ \NWD(4,13)=1}\) to stwierdzenia

\(\displaystyle{ 10x+y\equiv0\bmod13}\)

\(\displaystyle{ 4(10x+y)\equiv0\bmod13}\)

są równoważne. A to drugie z nich upraszcza się do \(\displaystyle{ x+4y\equiv0\bmod13}\). Kładąc teraz

\(\displaystyle{ x=a_n10^{n-2}+a_{n-1}10^{n-3}+...+a_1}\)

\(\displaystyle{ y=a_0}\)

dostajemy że liczba

\(\displaystyle{ a_n10^{n-1}+a_{n-1}10^{n-2}+...+a_110+a_0\equiv0\bmod13}\)

wtedy i tylko wtedy gdy

\(\displaystyle{ a_n10^{n-2}+a_{n-1}10^{n-3}+...+a_1+4a_0\equiv0\bmod13}\)

No i to oczywiście rekurencyjnie działa. Więc na przykład liczba \(\displaystyle{ 19799}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 13}\) bo

\(\displaystyle{ 19799 \rightarrow 1979+4 \cdot 9=2015 \rightarrow 201+4 \cdot 5=221 \rightarrow 22+4 \cdot 1=26}\)

\(\displaystyle{ 26}\) jest podzielne to już widać.

ODPOWIEDZ