Proszę o pomoc w udowodnieniu w sposób indukcyjny danego wyrażenia:
\(\displaystyle{ 7|(2344 ^{140} - 2344^{20})}\)
Z góry dziękuję.
Udowodnić podzielność
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Udowodnić podzielność
Indukcyjnie możesz udowadniać tezy zależne od liczb naturalnych tu tego brakuje więc indukcyjnie można by udowadniać jakieś uogólnienie. Można to łatwo udowodnić zauważając że:
\(\displaystyle{ 2344=335 \cdot 7-1}\)
tak więc
\(\displaystyle{ 2344\equiv-1\bmod 7}\)
A z tego mamy że
\(\displaystyle{ 2344^{140}\equiv 1\bmod 7}\)
\(\displaystyle{ 2344^{20}\equiv 1\bmod 7}\)
i ostatecznie
\(\displaystyle{ 2344^{140}-2344^{20}\equiv0\bmod 7}\)
co kończy dowód.
\(\displaystyle{ 2344=335 \cdot 7-1}\)
tak więc
\(\displaystyle{ 2344\equiv-1\bmod 7}\)
A z tego mamy że
\(\displaystyle{ 2344^{140}\equiv 1\bmod 7}\)
\(\displaystyle{ 2344^{20}\equiv 1\bmod 7}\)
i ostatecznie
\(\displaystyle{ 2344^{140}-2344^{20}\equiv0\bmod 7}\)
co kończy dowód.