Matematyka.pl

Wykazać, że liczba naturalna postaci \(\displaystyle{ 3k + 2, k N}\), nie może być kwadratem liczby
naturalnej.

Sprawdźmy jakie reszty z dzielenia przez 3 dają kwadraty liczb naturalnych. Do rozważenia mamy 3 postaci, pod jakimi może występować liczba naturalna:

\(\displaystyle{ a) \ n=3t \\ n^2=(3t)^2=9t^2=3 3t^2+0 \\ \\ b) \ n=3t+1 \\ n^2=(3t+1)^2=9t^2+6t+1=3(3t^2+2t)+1 \\ \\ c) \ n=3t+2 \\ n^2=(3t+2)^2=9t^2+12t+4=3(3t^2+4t+1)+1}\)

Czyli kwadrat liczby naturalnej może dawać przy dzieleniu przez 3 resztę 0 lub 1. Nasza liczba jest postaci x=3k+2, czyli x przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, czyli x nie może być kwadratem liczby naturalnej

ale przecież w ostatnim jest reszta 1 a nie 2 więc skąd to twierdzenie, albo czegoś nie widzę w tym rozwiązaniu

No, Sylwek sprawdził, jakie reszty z dzielenia przez 3 może dawać kwadrat liczby naturalnej. Nasza liczba nie daje żadnej z możliwych reszt, a więc nie jest kwadratem liczby naturalnej