liczby nieparzyste pirwsze podzielnosc

[aga_92]

mam jeszcze wątpliwości do kilku zadań:
1.
Wykaż, że liczba:
a)2*3^5+3^6+3^7+3^8 jest nieparzysta
b)6^20+3*6^19+4*6^18 jest wielokrotnością liczby 5.
2.
Wykaż, że różnica kwadratów dwu kolejnych liczb całkowitych nieparzystych jest podzielna przez 8.
3.
Znajdź wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba:
a)n^4+4 jest pierwsza
b)4n^4+1
c)n^4+n^2+1
jest pierwsza.
4.
Dla jakich liczb naturalnych n liczba 3^n+7^n jest podzielna przez 10?

[kuma]

Ad.1

1.
Wykaż, że liczba:
a)2*3^5+3^6+3^7+3^8 jest nieparzysta
b)6^20+3*6^19+4*6^18 jest wielokrotnością liczby 5.

a)\(\displaystyle{ 3^{5}(2+3+9+27)=3^{5}*41}\)
czyli nieparzysta razy nieparzysta=nieparzysta

b)nie zgadza się
\(\displaystyle{ 6^{18}(36+18+4)=6^{18}*58}\)
ta liczba nie jest podzielna na 5

Ad.2
\(\displaystyle{ (2n+3)^{2}-(2n+1)^{2}=4n^{2}+12n+9-(4n^{2}+4n+1)=8n+8=8(n+1)}\)

[Piotr Rutkowski]

3)
\(\displaystyle{ 3^{n}\equiv 3^{n} (mod10)}\)
\(\displaystyle{ 7^{n}\equiv (-3)^{n} (mod10)}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ 3^{n}+7^{n}\equiv 3^{n}+(-3)^{n}}\), czyli dla n=2k+1, bo dla n=2k, mamy:
\(\displaystyle{ 3^{n}+(-3)^{n}\equiv 2*3^{2k}}\), co nie jest podzielne prze 10

[Tristan]

Aga_92 - radzę zapoznać się z LaTeX-em.
Kuma - "ad" to nie jest żadnej skrót, więc nie stawiamy po nim kropki.
Ad 3:
Zauważmy, że \(\displaystyle{ n^4 +4= n^4 + 4n^2 + 4 - 4n^2=(n^2 +2)^2 - (2n)^2= (n^2 -2n +2)(n^2+2n+2)}\). Wynika z tego, że \(\displaystyle{ n^2 - 2n+2=1}\), czyli \(\displaystyle{ n=1}\).
Podobnie rozkładasz \(\displaystyle{ 4n^4 +1=(2n^2 -2n+1)(2n^2 +2n+1)}\), skąd musi być \(\displaystyle{ 2n^2 - 2n+1=1}\), czyli \(\displaystyle{ n=1}\).
Podobnie rozłóż ostatnie wyrażenie \(\displaystyle{ n^4 +n^2 +1}\) dodając i odejmując \(\displaystyle{ n^2}\).

[aga_92]

dzięki a z LaTeX-em na pewno sie zapoznam jeszcze raz dzieki