Największy wspólny dzielnik
: 23 paź 2017, o 21:55
Hej czy zna ktoś jakiś sposób aby znaleźć jak najwięcej dzielników pierwszych liczby \(\displaystyle{ \underbrace{55\ldots 5}_{48}}\)
\(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 5}\) są oczywiste
Pobawny sie liczbą
\(\displaystyle{ \underbrace{11\ldots 1}_{48}=11\cdot1\underbrace{01\ldots01}_{23}}\) wiec mamy \(\displaystyle{ 11}\)
\(\displaystyle{ \underbrace{11\ldots 1}_{48}=111\cdot 1\underbrace{001\ldots 001}_{15}}\) więc mamy \(\displaystyle{ 111=3\cdot 37}\)
\(\displaystyle{ \underbrace{11\ldots 1}_{48}=1111\cdot 1\underbrace{0001\ldots 0001}_{11}}\) więc mamy \(\displaystyle{ 1111=11\cdot 101}\)
\(\displaystyle{ \underbrace{11\ldots 1}_{48}=111111\cdot 1\underbrace{000001\ldots 000001}_{7}}\) więc mamy \(\displaystyle{ 111111=3\cdot 7\cdot 1\cdot 13\cdot 37}\)
\(\displaystyle{ \underbrace{11\ldots 1}_{48}=11111111\cdot 1\underbrace{00000001\ldots 00000001}_{5}}\) więc mamy \(\displaystyle{ 11111111=11\cdot 73\cdot 101\cdot 137}\)
Dwanaście jedynek dodaje do tej listy \(\displaystyle{ 9901}\) a \(\displaystyle{ 16}\) jedynek daje dzielnik \(\displaystyle{ 5882353}\)
Szesnaście jedynek da jeszcze \(\displaystyle{ 99990001}\), a dwadzieścia cztery - \(\displaystyle{ 9999999900000001}\)
I to już wszystkie dzielniki. Bezpośrednim rachunkiem sprawdzamy, że
\(\displaystyle{ \underbrace{55\ldots 5}_{48}=3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 37\cdot 73\cdot 101\cdot 137\cdot 9901\cdot 5882353\cdot 99990001\cdot 9999999900000001}\)