Matematyka.pl

Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) jedna z liczb \(\displaystyle{ 7^n-1}\) i \(\displaystyle{ 7^n+1}\) jest podzielna przez 3.

Wiem, że można to łatwo udowodnić na podstawie zauważenia, że z trzech kolejnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ 7^n-1}\), \(\displaystyle{ 7^n}\), \(\displaystyle{ 7^n+1}\) liczba \(\displaystyle{ 7^n}\) nigdy nie dzieli się przez 3, więc musi to być któraś z dwóch pozostałych liczb, o których mowa w tezie.

Jednak zaciekawiło mnie dlaczego nie wychodzi mi to innym sposobem i domyślam się, że brakuje tu jakiś warunków, w których odnalezieniu potrzebuję pomocy:

Załóżmy, że \(\displaystyle{ 7^n-1}\) nie jest podzielne przez 3, wtedy:
\(\displaystyle{ 7^n-1 = 3k+1}\) lub \(\displaystyle{ 7^n-1 = 3k+2}\)
Następnie analogicznie dla drugiej liczby...
Dla \(\displaystyle{ 3k+1}\) teza jest prawdziwa, gdyż wtedy \(\displaystyle{ 7^n+1=3k+3}\) czyli jest podzielne, ale już dla \(\displaystyle{ 3k+2}\) mam \(\displaystyle{ 7^n+1 = 3k+4}\) czyli warunek nie jest zgodny z tezą.

Gdzie w takim razie popełniam błąd lub jakie założenia powinnam dodatkowo rozpatrzeć?
Z góry dziękuję za odpowiedź

Od razu widać, że nie może być \(\displaystyle{ 7^n-1=3k+2}\) dla \(\displaystyle{ k}\) całkowitego, bo wtedy \(\displaystyle{ 3}\) dzieli \(\displaystyle{ 7^n}\), co jest nonsensem.
Jak już, to można wykazać, że \(\displaystyle{ 3|7^n-1}\).

A \(\displaystyle{ 7^n-1=(7-1)(7^{n-1}+\dots+ 1)}\)

Premislav pisze:Od razu widać, że nie może być \(\displaystyle{ 7^n-1=3k+2}\) dla \(\displaystyle{ k}\) całkowitego, bo wtedy \(\displaystyle{ 3}\) dzieli \(\displaystyle{ 7^n}\), co jest nonsensem.
Jak już, to można wykazać, że \(\displaystyle{ 3|7^n-1}\).

Faktycznie, nie pomyślałam o tym, dziękuję Ci bardzo za spostrzeżenie.

W takim razie czy orientuje się ktoś czy na maturze dostałabym maksymalną ilość punktów za rozpisanie warunków w postaci 3k itd., ale w przypadkach takich jakie zauważył Premislav podopisywałabym, że nie muszę ich rozpatrzeć ze względu na sprzeczność z \(\displaystyle{ 7^n}\) czy też przyrównywanie tych wyrażeń do 3k jest zbyt "niebezpieczne"?

XYZmat pisze:

Dla \(\displaystyle{ 3k+1}\) teza jest prawdziwa, gdyż wtedy \(\displaystyle{ 7^n+1=3k+3}\) czyli jest podzielne, ale już dla \(\displaystyle{ 3k+2}\) mam \(\displaystyle{ 7^n-1 = 3k+4}\) czyli warunek nie jest zgodny z tezą.

Gdzie w takim razie popełniam błąd lub jakie założenia powinnam dodatkowo rozpatrzeć?
Z góry dziękuję za odpowiedź

Skąd Ci się wzięło \(\displaystyle{ 3k+4}\)?

a4karo pisze:

XYZmat pisze:

Dla \(\displaystyle{ 3k+1}\) teza jest prawdziwa, gdyż wtedy \(\displaystyle{ 7^n+1=3k+3}\) czyli jest podzielne, ale już dla \(\displaystyle{ 3k+2}\) mam \(\displaystyle{ 7^n-1 = 3k+4}\) czyli warunek nie jest zgodny z tezą.

Gdzie w takim razie popełniam błąd lub jakie założenia powinnam dodatkowo rozpatrzeć?
Z góry dziękuję za odpowiedź

Skąd Ci się wzięło \(\displaystyle{ 3k+4}\)?

Liczba \(\displaystyle{ 7^n+1}\) jest o 2 większa niż \(\displaystyle{ 7^n-1}\) stąd jeśli \(\displaystyle{ 7^n-1=3k+2}\) to \(\displaystyle{ 7^n+1=(3k+2)+2=3k+4}\)

No tak. Zastosowałes ten sam schemat, co w poprzednim przypadku. Ale gdybyś dodał jeden zamiast dwóch....

a4karo pisze: ↑12 paź 2017, o 22:33 A \(\displaystyle{ 7^n-1=(7-1)(7^{n-1}+\dots+ 1)}\)

Przepraszam za odkopywanie, może głupio, ale muszę się upewnić - zacytowane rozwiązanie jest w 100% dobre i nie można mu nic zarzucić, prawda? Przygotowuję się do matury i sam rozwiązałem to w ten sposób, nawet do głowy mi nie przyszło (choć to może niedobrze) żeby rozwiązywać to trzema kolejnymi liczbami naturalnymi i zdziwiło mnie takie wytłumaczenie w odpowiedziach, bez zająknięcia o tym, moim zdaniem, znacznie prostszym rozwiązaniu.

Twój sposób z trzema kolejnymi liczbami jest poprawny i prosty. Sposób z moim wzorem jest o tyle lepszy, że ucina wszelkie dywagacje na temat która z liczb jest podzielna przez 3. Zawsze jest to ta mniejsza.

W twoim rozumowaniu nie popełniasz błędu, ale nie daje ono wystarczających przesłanek do udowodnienia tezy.