1) wykaż że jeżeli m jest całkowita to \(\displaystyle{ m^6 - 2m^4 +m^2}\) jest podzielna przez 36
2) wykaż że kwadrat liczby całkowitej dającej z dzielenia przez 3 resztę 2, przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1
3) iloczyn dwóch liczb naturalnych dodatnich wynosi 6174 a ich największy wspólny dzielnik równa się 21. Znajdź te liczby"
pomozecie?:)
[Zapoznaj się z regulaminem, w szczególności z nazewnistwem tematów. A potem radzę poznać LaTeX-a - Tristan]
Trzy zadania :podzielność, reszta z dzielenia i NWD
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Trzy zadania :podzielność, reszta z dzielenia i NWD
Ad 1:
Zauważ, że \(\displaystyle{ m^6 - 2m^4 +m^2=m^2 ( m^4 - 2m^2 +1)=m^2 ( m^2 -1)^2=m^2 (m-1)^2 ( m+1)^2= [ m(m-1)(m+1)]^2}\). Mamy do czynienia z iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych. Z kolejnych trzech liczb całkowitych jedna jest podzielna przez 3, więc cały iloczyn jest podzielny przez 3. Poza tym co najmniej jedna jest podzielna przez 2, więc cały iloczyn jest podzielny przez 2. Czyli zachodzi podzielność \(\displaystyle{ 6| m(m-1)(m+1)}\), a z tego wynika, że \(\displaystyle{ 36=6^2 | [ m(m-1)(m+1)]^2= m^6 - 2m^4 +m^2}\).
Ad 2:
Liczbę całkowitą, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, możemy zapisać w postaci \(\displaystyle{ 3k+2}\). Wtedy jej kwadrat to \(\displaystyle{ (3k+2)^2=3k 3k + 2 3k 2 + 4=3(3k^2 +4k+1) +1}\). Czyli jej kwarat przy dzieleniu przez 3 daje resztę jeden ( bo jest całkowitą wielokrotnością trójki plus jeden).
Ad 3:
Niech szukanymi liczbami będą \(\displaystyle{ x,y}\). Z treści zadania wiemy, że \(\displaystyle{ x y=6174}\) i \(\displaystyle{ NWD(x,y)=21}\). Z tej drugiej informacji wynika, że \(\displaystyle{ x=21k, y=21n}\), gdzie \(\displaystyle{ NWD(k,n)=1}\). Podstawiając to do pierwszego równania mamy:
\(\displaystyle{ 21k 21n=6174 \\ k n=14}\)
Czyli \(\displaystyle{ (k=1 n=14) (k=2 n=7) ( k=7 n=2) (k=14,\wedge n=1)}\). Stąd otrzymasz już cztery pary (x,y) rozwiązań.
Zauważ, że \(\displaystyle{ m^6 - 2m^4 +m^2=m^2 ( m^4 - 2m^2 +1)=m^2 ( m^2 -1)^2=m^2 (m-1)^2 ( m+1)^2= [ m(m-1)(m+1)]^2}\). Mamy do czynienia z iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych. Z kolejnych trzech liczb całkowitych jedna jest podzielna przez 3, więc cały iloczyn jest podzielny przez 3. Poza tym co najmniej jedna jest podzielna przez 2, więc cały iloczyn jest podzielny przez 2. Czyli zachodzi podzielność \(\displaystyle{ 6| m(m-1)(m+1)}\), a z tego wynika, że \(\displaystyle{ 36=6^2 | [ m(m-1)(m+1)]^2= m^6 - 2m^4 +m^2}\).
Ad 2:
Liczbę całkowitą, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, możemy zapisać w postaci \(\displaystyle{ 3k+2}\). Wtedy jej kwadrat to \(\displaystyle{ (3k+2)^2=3k 3k + 2 3k 2 + 4=3(3k^2 +4k+1) +1}\). Czyli jej kwarat przy dzieleniu przez 3 daje resztę jeden ( bo jest całkowitą wielokrotnością trójki plus jeden).
Ad 3:
Niech szukanymi liczbami będą \(\displaystyle{ x,y}\). Z treści zadania wiemy, że \(\displaystyle{ x y=6174}\) i \(\displaystyle{ NWD(x,y)=21}\). Z tej drugiej informacji wynika, że \(\displaystyle{ x=21k, y=21n}\), gdzie \(\displaystyle{ NWD(k,n)=1}\). Podstawiając to do pierwszego równania mamy:
\(\displaystyle{ 21k 21n=6174 \\ k n=14}\)
Czyli \(\displaystyle{ (k=1 n=14) (k=2 n=7) ( k=7 n=2) (k=14,\wedge n=1)}\). Stąd otrzymasz już cztery pary (x,y) rozwiązań.