Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ a = 2n + 1}\) i \(\displaystyle{ b = 2n + 3}\) \(\displaystyle{ (n C)}\) będą dwiema kolejnymi liczbami nieparzystymi. Wtedy dla dowolnego \(\displaystyle{ n C}\):

a) \(\displaystyle{ a^{3} - b^{3}}\) jest liczbą nieparzystą,
b) \(\displaystyle{ a^{3} + b^{3}}\) jest liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ n + 1}\)
c) \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2}}\) jest liczbą, która przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 4}\) daje resztę \(\displaystyle{ 3}\).

Wiem, że poprawną odpowiedzią jest b), ale proszę o pomoc w udowodnieniu, że ona jest prawdziwa, oraz że reszta jest nieprawdziwa. Dzięki.

A\(\displaystyle{ 1^3-3^3=1-27=-26}\) liczba parzysta;

B\(\displaystyle{ (2n+1)^3+(2n+3)^3=(8n^3+4n^2+2n+1)+(8n^3+12n^2+18n+27)=16n^3+16n^2+20n+28}\)

to nie jest podzielne przez n+1

C) \(\displaystyle{ 1^2+3^2=9+1=10}\) dzieląc 10 przez 4 otrzymamy resztę 2..

Dzięki, ale...

to nie jest podzielne przez n+1

Czy mógłbyś mi wyjaśnić dlaczego tak jest? W podręczniku w odpowiedziach jest wpisane, że b) jest poprawna więc nie wiem co jest nie tak.

Wymnóż sobie to b) tylko do końca nie tak jak mostostalek tlyko wszystko po kolei i nic nie zjadaj Później podstaw pod \(\displaystyle{ x}\) liczbę \(\displaystyle{ -1}\) i jak ci wyjdzie \(\displaystyle{ 0}\) to będziesz miał, że jest to podzielne. Z tw. Bezout'a Będziesz mądrzejszy Jeżeli dzielisz jakiś wielomian przez wyrażenie \(\displaystyle{ (x-a)}\) to jeżeli po podstawieniu \(\displaystyle{ a}\) do wzoru wychodzi ci \(\displaystyle{ 0}\) to wiesz, że ten wielomian jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ (x-a)}\)

Ja bym zaproponował elementarną metodę. Przedstaw swoej wyrażenia w nawiasach w innej postaci, czyli:
\(\displaystyle{ (2n+1)^{3}=((n+1)*2-1)^{3}}\)
\(\displaystyle{ (2n+3)^{3}=((n+1)*2-1)^{3}}\).
Zauważ teraz, że jedynymi składnikami sumy która Ci powstanie i które nie będą się dzielić przez n+1 będą \(\displaystyle{ 1^{3}}\) oraz \(\displaystyle{ (-1)^{3}}\), a one oczywiście się skrócą

tak to jest jak człowiek zawali nockę.. potem nawet zwykła podzielność mu nie wychodzi