wykazać, że wyrażenie jest podzielne przez 7

[matinf]

Witam.
Mam: Wykaż, że \(\displaystyle{ n^7-n}\)jest podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\).
Więc:
\(\displaystyle{ n^7-n = n(n^6-1) = n(n^3-1)(n^3+1) = n(n-1)(n^2+n+1)(n+1)(n^2-n+1) =
=(n-1)(n)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)}\)
Dalej nie mam żadnego pomysłu
Więc pomyślałem, że wyłamię to łomem, tzn, sprawdzę każdą możliwość.
Na mocy twierdzenia o dzieleniu całkowitym z resztą, mamy, że
\(\displaystyle{ n= 7k + 0 \wedge k \in C \\
n=7k+1 \\
n=7k+2 \\
n=7k+3 \\
n=7k+4 \\
n=7k+5 \\
n=7k+6}\)
To jest 7 przypadków, ale mogę je zapisać nieco inaczej.
\(\displaystyle{ n= 7k + 0 \\
n=7k+1 \\
n=7k+2 \\
n=7k+3 \\
n=7k-3 \\
n=7k-2 \\
n=7k-1}\)

I teraz każdy z nich sprawdzę. Wiadomo, że muszę podstawić do któregoś nawiasu, żebym otrzymał siódemkę, ale z tym sobie już poradzę - na oko mniej więcej oceniam, gdzie warto, podstawić aby otrzymać 7, a jeśli jest ona w iloczynie, to cały iloczyn jest podzielny przez 7.
Pytanie czy taki dowód na maturze przejdzie ?

[math questions]

\(\displaystyle{ n ^{2}-n+1=(n-3)(n+2)+7}\)
\(\displaystyle{ n ^{2}+n+1=(n+3)(n-2)+7}\)


\(\displaystyle{ n^7-n = n(n^6-1) = n(n^3-1)(n^3+1) = n(n-1)(n^2+n+1)(n+1)(n^2-n+1) = \\
=(n-1)(n)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)= \\ =(n-1)(n)(n+1)\left[(n-3)(n+2)+7 \right] \left[(n+3)(n-2)+7 \right]= \\ =[(n-1)(n)(n+1)(n-3)(n+2)+7(n-1)(n)(n+1)]\left[(n+3)(n-2)+7 \right]= \\= (n-1)(n)(n+1)(n-3)(n+2)(n+3)(n-2)+ \\ +7(n-1)(n)(n+1)(n-3)(n+2)+7(n-1)(n)(n+1)(n+3)(n-2)+ \\ +49(n-1)(n)(n+1)}\)

[matinf]

hmmm, moje pytanie było inne.

[Zordon]

Jeśli sprawdzisz poprawnie każdy przypadek to powinna być maksymalna punktacja za zadanie. Niestety, to może być nie do zrobienia w krótkim czasie. Inna sprawa, to że wystarczy skorzystać z małego tw. Fermata, które mówi niemal dokładnie to co teza dla \(\displaystyle{ p=7}\).

[matinf]

Z pewnością przyjrzę się temu twierdzeniu
A znowu tak długo to nie trwało, rozwiązanie tamtego zadania
Metoda jest uniwersalna na podobne zadanka

[Ponewor]

Ew. na poziomie matury narzuca się dowód indukcyjny, który nie będzie zbyt długi.

[matinf]

ale to jest zbiór liczb całkowitych, zapomniałem napisac.

[Marcinek665]

\(\displaystyle{ (-n)^7 - (-n) = -(n^7-n)}\)

więc wystarczą nam liczby nieujemne do dowodu.

[koksiu15]

każda liczba do 7 daje tą samą resztę z dzielenia przez 7 co ta liczba
\(\displaystyle{ 0 ^{7} =0}\) reszta 0
\(\displaystyle{ 1 ^{7}=1}\) reszta 1
\(\displaystyle{ 2 ^{7} =128}\)-reszta 2
\(\displaystyle{ 3 ^{7}= 2187}\) reszta 3
\(\displaystyle{ 4 ^{7}=16384}\) reszta 4
itd
fajny sposób trochę cwany i trzeba na to wpaść.sam go dostałem od innego użytkownika
działa też dla wykazania że \(\displaystyle{ n ^{5}-n}\) podzielne przez 5

[yorgin]

Jeśli sprawdzisz poprawnie każdy przypadek to powinna być maksymalna punktacja za zadanie. Niestety, to może być nie do zrobienia w krótkim czasie. Inna sprawa, to że wystarczy skorzystać z małego tw. Fermata, które mówi niemal dokładnie to co teza dla \(\displaystyle{ p=7}\).

Być może trochę się czepiam, ale miałem rozszerzoną matematykę w liceum przez 3 lata i nigdy nie słyszałem o małym twierdzeniu Fermata. Być może program się zmienił i to twierdzenie jest w podręcznikach tak, że każdy może z niego korzystać?

Na poziomie szkolnym najpewniej robiłbym to indukcją, albo tak łopatologicznie, jak w pierwszym poście.

[Zordon]

Generalnie nikt nie broni aby na maturze korzystać z twierdzeń spoza materiału liceum. Małe twierdzenie Fermata jest elementarne, znane nawet bardziej ambitnym gimnazjalistom.

[yorgin]

Masz rację, nikt nie broni. Jeśli ktoś je pozna, czemu nie. Być może pisałem tak agresywnie dlatego, że w moim liceum nie było praktycznie wcale olimpijczyków, którzy rozwiązywaliby wiele zadań korzystając z mniej lub bardziej elementarnych twierdzeń. W szczególności jak patrzę na dział kółko matematyczne albo olimpiady i czytuję co niektóre rozwiązania, to przewracam się.