Udowodnij podzielnosc przez 83

[lenkaja]

Udowodnij, ze 83 dzieli
\(\displaystyle{ (2 \cdot 5 ^{7}-5 \cdot 2 ^{7}) ^{83}-(2 \cdot 5 ^{7}) ^{83}+(5 \cdot 2 ^{7}) ^{83}.}\)

[mateuszek89]

Skorzystaj z rozwinięcie newtona i z tego, że \(\displaystyle{ {83 \choose k}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 83}\) dla \(\displaystyle{ k \in \{2,...,82 \}}\). pozdrawiam!

[lenkaja]

Dziekuje. A moglbys jakos dokladniej to rozpisac? Bo nie za bardzo wiem jak...

[mateuszek89]

Zobacz jak wygląda rozwinięcie dwumianowe i z tego wyciągnij odpowiednie wnioski. Prawie wszystkie składniki będą podzielne przez \(\displaystyle{ 83}\) z tego co napisałem wyżej,a te które nie są podzielne skrócą się:)

[lenkaja]

Ala jak:
z tego, ze
\(\displaystyle{ {83 \choose k}= \frac{83!}{(83-k)!k!}}\)?

[mateuszek89]

jak rozwiniesz \(\displaystyle{ (2 \cdot 5^7-5\cdot 2^7)^83}\) to skrócą Ci się pierwszy i ostatni składnik, a reszta będzie podzielna przez \(\displaystyle{ 83}\) z uwagi którą napisałem na samym początku.

[Marcinek665]

Stosując Małe Twierdzenie Fermata otrzymujemy:

\(\displaystyle{ (2 \cdot 5 ^{7}-5 \cdot 2 ^{7}) ^{83}-(2 \cdot 5 ^{7}) ^{83}+(5 \cdot 2 ^{7}) ^{83} \equiv 2 \cdot 5 ^{7}-5 \cdot 2 ^{7}-2 \cdot 5 ^{7}+5 \cdot 2 ^{7} \equiv 0 \ \left( mod \ 83\right)}\), gdyż \(\displaystyle{ 83}\) jest liczbą pierwszą. A to w łatwy sposób kończy dowód.

[lenkaja]

\(\displaystyle{ {83 \choose k}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 83}\) dla \(\displaystyle{ k \in \{2,...,82 \}}\).

Ok, zrobilam korzystajac z tego. Ale jak udowodnic powyzsze?

[pawelsuz]

Rozpisz i skorzystaj z tego ze 83 jest liczba pierwsza.

[lenkaja]

Ale wlanie nie wiem jak to rozpisac zeby bylo widac.

[pawelsuz]

Niech p będzie liczba pierwszą.
\(\displaystyle{ {p \choose k}= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot p}{k! \cdot (p-k)!}}\)
Wiadomo że ta liczba jest całkowita. W liczniku mamy mnożenie przez \(\displaystyle{ p}\). Jeśli ta liczba nie miałaby być podzielna przez \(\displaystyle{ p}\), to to \(\displaystyle{ p}\) z licznika musiało by się jakoś skrócić z mianownikiem. Jako że p jest pierwsze, więc skrócić mogłoby się tylko przez \(\displaystyle{ p}\) w mianowniku ale jako że \(\displaystyle{ 2 \le k \le p-1}\), to wszystkie czynniki tych dwóch silni to liczby mniejsze od \(\displaystyle{ p}\), więc skrócic się nie mogło, czyli wyjściowa liczba jest podzielna przez to nieszczęsne \(\displaystyle{ p}\)

Chyba bardziej sie tego nie da rozpisac:P

[lenkaja]

Dziekuje