Matematyka.pl

Zadanie jest takie: Znajdź dziesięć kolejnych nieparzystych liczb naturalnych, których suma jest podzielna przez 99.

Zrobiłam coś takiego:

\(\displaystyle{ 2a+1}\) - najmniejsza szukana liczba, \(\displaystyle{ a \in IN}\), każda następna jest powiększona o 2. Suma wychodzi taka:

\(\displaystyle{ 20a+100}\)

Wprowadziłam kolejną niewiadomą b, gdzie \(\displaystyle{ \frac{20a+100}{99}=b, b \in IN}\). No i się zapętliłam, bo mam 2 niewiadome, jedno równanie. Jak inaczej można to zrobić?

W zasadzie to nie przeszkadza. Wystarczy, że znajdziesz takie \(\displaystyle{ a}\), że liczba \(\displaystyle{ 20a + 100}\) będzie wielokrotnością \(\displaystyle{ 99}\). Można szukać na palcach albo użyć kongruencji

Zauważ, że \(\displaystyle{ 20a+100=(20a+1)+99}\) i wystarczy dobrać \(\displaystyle{ a}\) tak, by liczba \(\displaystyle{ 20a+1}\) była podzielna przez 99, tj. przez 9 i 11 jednocześnie. Skorzystaj z odpowiednich cech podzielności.

Ok, dzięki, czyli generalnie bez dobierania liczby się nie obejdzie? (Jeszcze nigdy nie miałam do czynienia z kongruencją, póki co nie będę się w to bawić )

Można szukać na palcach

Ciekawe

Suma dziesięciu liczb nieparzystych jest parzysta, a więc musi się też dzielić przez 198, więc \(\displaystyle{ 20a+1=198x}\), dobrze myślę?

Znalazłem jedną z liczb (1881), dodajemy do siebie ciągle 198 i szukamy liczby zakończonej na 1 i liczba dziesiątek musi być parzysta.

Pokaże ktoś jak znaleźć takie liczby przy pomocy kongruencji, bo tak się zastanawiam i wpaść nie mogę

\(\displaystyle{ 20a+100 \equiv 0 \pmod{99}}\)

\(\displaystyle{ 20a \equiv 98 \pmod{99} /\cdot 5}\)

\(\displaystyle{ a \equiv 94 \pmod{99}}\)

\(\displaystyle{ a = 99n+94}\)

I teraz za n wstawiając kolejne liczby naturalne \(\displaystyle{ \lbrace 0;1;...\rbrace}\) dostajemy a, które generuje nam liczby spełniające tezę, przykładowo wybierając \(\displaystyle{ n=0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ a=94 \Leftrightarrow 2a+1 = 189}\), skąd wynika, że najmniejsza suma spełniająca tezę to: \(\displaystyle{ 189+191+193+...+207}\)