Ze zb. Kiełbasa vol.2
: 11 lip 2011, o 21:27
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba \(\displaystyle{ n ^{5} -n}\) jest podzielna przez 30.
\(\displaystyle{ n ^{5} -n \Leftrightarrow n(n ^{4} -1) \Leftrightarrow n(n ^{2}+1)(n ^{2}-1) \Leftrightarrow n(n+1)(n-1)(n ^{2}+1)}\)
\(\displaystyle{ n(n+1)(n-1)}\) jest podzielne przez 2 i 3, zatem jest podzielne przez 6 dla każdego\(\displaystyle{ n \in \NN}\).
Liczba n jest podzielna przez 5, lub daje resztę przy dzieleniu równą 1,2,-1 lub -2.
Niech \(\displaystyle{ n=5k \pm 1, n=5k \pm 2, k \in \NN \cup \left\{ 0\right\}}\)
dla
\(\displaystyle{ n=5k+1
(5k+1)(5k+2)(5k)(5k+1)^{2}+1)= 5[k(5k+1)(5k+2)((5k+1) ^{2}+1))]}\)
jednym z czynników jest 5, zatem iloczyn jest podzielny przez 5
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ 5 \cdot 6=30}\)
Analogicznie dla \(\displaystyle{ n=5k-1}\)
dla
\(\displaystyle{ n=5k+2
(5k+2)(5k+1)(5k+3)((5k+2)^{2} +1)=(5k+2)(5k+1)(5k+3)(25k ^{2} +20k +5)=5(5k+2)(5k+1)(5k+3)( 5k^{2}+4k+1)}\)
jednym z czynników jest 5, zatem iloczyn jest podzielny przez 5
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ 5 \cdot 6=30}\)
Analogicznie dla \(\displaystyle{ n=5k-2}\)
Zatem dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\) liczba \(\displaystyle{ n ^{5}-n}\) jest podzielna przez 30, c.n.d.
\(\displaystyle{ n ^{5} -n \Leftrightarrow n(n ^{4} -1) \Leftrightarrow n(n ^{2}+1)(n ^{2}-1) \Leftrightarrow n(n+1)(n-1)(n ^{2}+1)}\)
\(\displaystyle{ n(n+1)(n-1)}\) jest podzielne przez 2 i 3, zatem jest podzielne przez 6 dla każdego\(\displaystyle{ n \in \NN}\).
Liczba n jest podzielna przez 5, lub daje resztę przy dzieleniu równą 1,2,-1 lub -2.
Niech \(\displaystyle{ n=5k \pm 1, n=5k \pm 2, k \in \NN \cup \left\{ 0\right\}}\)
dla
\(\displaystyle{ n=5k+1
(5k+1)(5k+2)(5k)(5k+1)^{2}+1)= 5[k(5k+1)(5k+2)((5k+1) ^{2}+1))]}\)
jednym z czynników jest 5, zatem iloczyn jest podzielny przez 5
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ 5 \cdot 6=30}\)
Analogicznie dla \(\displaystyle{ n=5k-1}\)
dla
\(\displaystyle{ n=5k+2
(5k+2)(5k+1)(5k+3)((5k+2)^{2} +1)=(5k+2)(5k+1)(5k+3)(25k ^{2} +20k +5)=5(5k+2)(5k+1)(5k+3)( 5k^{2}+4k+1)}\)
jednym z czynników jest 5, zatem iloczyn jest podzielny przez 5
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ 5 \cdot 6=30}\)
Analogicznie dla \(\displaystyle{ n=5k-2}\)
Zatem dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\) liczba \(\displaystyle{ n ^{5}-n}\) jest podzielna przez 30, c.n.d.