Uzasadnij że dla każdej liczby naturalnej n liczba

[szczylu]

Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba:

a) \(\displaystyle{ n^{4} + 2n^{3} + n^{2}}\) jest podzielna przez 4

b) \(\displaystyle{ n^{3} - n}\) jest podzielna przez 6

Moim zdaniem trzeba by wyliczyć jakoś pierwiastki tych wielomianów stosując twierdzenie Bezouta ale jak to zrobić to nie wiem ; p bardzo proszę o pomoc

[irena_1]

\(\displaystyle{ n^4+2n^3+n^2=n^2(n^2+2n+1)=n^2\cdot(n+1)^2}\)

n i (n+1) to kolejne liczby naturalne. Jedna z nich musi więc być parzysta. Kwadrat każdej liczby parzystej dzieli się przez 4.
\(\displaystyle{ n=2k\ \Rightarrow \ n^2=4k^2}\)
Czyli- taki iloczyn dzielić się musi przez 4.

\(\displaystyle{ n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)}\)

Masz tu iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych. Wśród trzech kolejnych liczb naturalnych jest jedna podzielna przez 3 i co najmniej jedna parzysta. Ich iloczyn musi więc dzielic się przez \(\displaystyle{ 2\cdot3=6}\), bo 2 i 3 są względnie pierwsze.

[Vax]

\(\displaystyle{ n^4 + 2n^3 + n^2 = n^2(n^2 + 2n + 1) = n^2(n+1)^2 = [n(n+1)]^2}\)

Iloczyn 2 kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 2, jeżeli podniesiemy to do kwadratu, to będzie podzielne przez 4.

\(\displaystyle{ n^3-n = n(n^2-1) = (n+1)n(n-1)}\)

Iloczyn 3 kolejnych liczb naturalnych zawsze będzie podzielny przez 6.

Pozdrawiam.