wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
gabi11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 11 maja 2010, o 00:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 12 razy

wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby

Post autor: gabi11 » 3 sie 2010, o 21:45

wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby \(\displaystyle{ 13^{2001}}\)
Proszę o pomoc, bo nie mam pojęcia jak się za to zabrać. Widziałam podobne zadania na forum, ale ich nie rozumiem.

Fingon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 222
Rejestracja: 24 sie 2009, o 02:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 32 razy

wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby

Post autor: Fingon » 3 sie 2010, o 21:55

\(\displaystyle{ 13^{20} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}}\)
Z czego wynika, że
\(\displaystyle{ 13^{2000} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}}\)
Wystarczy obustronie pomnożyć razy 13 i mamy
\(\displaystyle{ 13^{2001} \equiv 13 \quad \text{(mod 100)}}\)

Czyli ostatnie dwie cyfry \(\displaystyle{ 13^{2001}}\) to 13.

gabi11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 11 maja 2010, o 00:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 12 razy

wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby

Post autor: gabi11 » 3 sie 2010, o 22:11

Dzięki
Obawiam się, że autorowi zadania mogło chodzić o dwie ostatnie liczby? Czyli jeszcze jeśli byś mógł to przedostatnią liczbę poproszę.
Nie wiem o co w tym chodzi, więc może ja teraz mówię głupoty.

Fingon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 222
Rejestracja: 24 sie 2009, o 02:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 32 razy

wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby

Post autor: Fingon » 3 sie 2010, o 22:14

Z pewnością chodzi o dwie ostatnie cyfry, czyli '1' i '3'. Nie wiem czym miałyby być "dwie ostatnie liczby".

gabi11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 11 maja 2010, o 00:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 12 razy

wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby

Post autor: gabi11 » 3 sie 2010, o 22:16

Ok, skoro tak mówisz to widocznie tak jest. Jeszcze raz dzięki

Awatar użytkownika
Bratower
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 103
Rejestracja: 26 paź 2017, o 05:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 64 razy
Pomógł: 2 razy

Re: wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby

Post autor: Bratower » 3 lis 2018, o 16:45

Skąd wiadomo, że
\(\displaystyle{ 13^{20} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16850
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2834 razy

Re: wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby

Post autor: a4karo » 3 lis 2018, o 16:52

Bratower pisze:Skąd wiadomo, że
\(\displaystyle{ 13^{20} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}}\)
W excelu się liczy

Awatar użytkownika
Bratower
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 103
Rejestracja: 26 paź 2017, o 05:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 64 razy
Pomógł: 2 razy

Re: wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby

Post autor: Bratower » 3 lis 2018, o 23:25

Wydaje mi się, że znalazłem odpowiedź na moje pytanie.
\(\displaystyle{ \boxed{13^{20} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}}}\)

\(\displaystyle{ {13^{20} \equiv 3^{20} \equiv 3^{4^{5}}\equiv 81^5 \equiv 81^4 \cdot 81 \equiv 61^2 \cdot 81 \equiv 21 \cdot 81\equiv 1 \pmod{100}} \\ {13^{20} \equiv 1 \quad \text{(mod 100)}}\)
Ostatnio zmieniony 3 lis 2018, o 23:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14212
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 67 razy
Pomógł: 4658 razy

Re: wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby

Post autor: Premislav » 4 lis 2018, o 00:16

Poza tym, że w pewnym miejscu powinno być raczej \(\displaystyle{ (3^4)^5}\) (ale to kwestia zapisu) wygląda OK.
Można też odnotować, że z twierdzenia Eulera mamy \(\displaystyle{ 13^{20}\equiv 1\pmod{25}}\), a ponadto łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ 13\equiv 1\pmod{4}}\), więc i \(\displaystyle{ 13^{20}\equiv 1\pmod{4}}\),
z tej pierwszej informacji widzimy, że \(\displaystyle{ 13^{20}\pmod{100}\in \left\{ 1,26,51,76\right\}}\), a z tej drugiej możemy wykluczyć \(\displaystyle{ 26, \ 51, \ 76}\). Niby to przywalenie dość mocnym narzędziem, ale unikamy zgadywania, jakie to potęgi zredukować.

ODPOWIEDZ