Liczba podzielna przez 3 i niepodzielna przez 6

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
stan1906
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 202
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 18:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Alabastia
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 5 razy

Liczba podzielna przez 3 i niepodzielna przez 6

Post autor: stan1906 »

Wykaż, że jeżeli liczba naturalna n jest podzielna przez 3 i nie jest podzielna przez 6, to liczba postaci \(\displaystyle{ n^2+7}\) jest podzielna przez 8.

nie wiem jak to chwycić, w ogóle jak te liczby zapisac ;/
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Liczba podzielna przez 3 i niepodzielna przez 6

Post autor: Althorion »

\(\displaystyle{ n := 6k + 3}\)
stan1906
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 202
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 18:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Alabastia
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 5 razy

Liczba podzielna przez 3 i niepodzielna przez 6

Post autor: stan1906 »

hm to jest liczba podzielna przez 3 a nie podzielna przez 6? podniosłem do kwadratu, dodalem 7 i nic
xanowron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

Liczba podzielna przez 3 i niepodzielna przez 6

Post autor: xanowron »

Jak to nic? Mi pięknie wyszło, podnosisz, dodajesz i nie widzisz czegoś? Spróbuj wyłączyć coś przed nawias.
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Liczba podzielna przez 3 i niepodzielna przez 6

Post autor: Althorion »

No jest podzielna przez trzy:
\(\displaystyle{ 6k+3 = 3(2k+1)}\)
A to, że nie jest podzielna przez sześć chyba widać (pierwsza liczba nie daje reszty przy dzieleniu przez sześć, druga - resztę trzy).

Zaś zadanie powinno wyglądać tak:
\(\displaystyle{ (6k+3)^2 + 7 = 36k^2 + 36k + 16 = 4(9k^2 + 9k + 8)}\)
Podzielność przez cztery jest oczywista, wystarczy więc dowieść parzystości nawiasu.
Jako że ostatni składnik (ósemka) jest parzysty, to dla parzystości konieczna i wystarczająca jest parzystość \(\displaystyle{ 9k^2 + 9k}\) (jako że suma dwóch liczb parzystych jest zawsze parzysta), więc:
\(\displaystyle{ 9k^2 + 9k = 9k(k+1)}\)
Jeżeli k jest parzyste, to całość też, jeżeli nie - to k+1 jest parzyste, i wtedy całość znowu jest parzysta.
VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 34 razy

Re: Liczba podzielna przez 3 i niepodzielna przez 6

Post autor: VanHezz »

No dobrze, w takim razie wykazaliśmy, że liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\) i przez \(\displaystyle{ 2}\). Ale to przecież to nie gwarantuje podzielności przez \(\displaystyle{ 8}\). Liczba \(\displaystyle{ 20}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 2}\) a nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 8}\). Jak to rozumieć?
Ostatnio zmieniony 10 lip 2021, o 17:32 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Liczba podzielna przez 3 i niepodzielna przez 6

Post autor: AiDi »

VanHezz pisze: 10 lip 2021, o 16:55 No dobrze, w takim razie wykazaliśmy, że liczba jest podzielna przez 4 i przez 2.
Wykazaliśmy, że liczba jest iloczynem \(\displaystyle{ 4}\) i liczby podzielnej przez \(\displaystyle{ 2}\). To trochę co innego.
VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 34 razy

Re: Liczba podzielna przez 3 i niepodzielna przez 6

Post autor: VanHezz »

To na czym polega ta różnica, bo ja właśnie w tej kwestii kuleję i mnie to blokuje. Wiem, że liczba \(\displaystyle{ a}\) jest podzielna przez inną liczbę \(\displaystyle{ b}\), która jest iloczynem dwóch innych dzielników \(\displaystyle{ a}\), ale które to dzielniki są względnie pierwsze. Dlatego nie wiem kiedy mogę oceniać podzielność danej liczby za pomocą takich iloczynów jak wyżej, a kiedy się to kłóci z tą zasadą o względnie pierwszych dzielnikach.
Ostatnio zmieniony 10 lip 2021, o 18:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Liczba podzielna przez 3 i niepodzielna przez 6

Post autor: AiDi »

Liczbę \(\displaystyle{ 9k^2+9k+8}\) możesz zapisać jako \(\displaystyle{ 2m}\) dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ m}\). Zatem liczba o której mowa jest postaci \(\displaystyle{ 4\cdot 2m=8m}\) czyli jest podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\).
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Liczba podzielna przez 3 i niepodzielna przez 6

Post autor: Janusz Tracz »

Można też zauważyć, że
\(\displaystyle{ (6k+3)^2 + 7= 72 \frac{k(k-1)}{2} +72k+16 }\)

a \(\displaystyle{ \text{NWD}(72,72,16)=8 }\). Oczywiście zawsze \(\displaystyle{ k(k-1)/2\in\ZZ}\).
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 163 razy
Pomógł: 16 razy

Re: Liczba podzielna przez 3 i niepodzielna przez 6

Post autor: Bran »

Tak na marginesie:
Althorion pisze: 18 kwie 2010, o 19:47 \(\displaystyle{ (6k+3)^2 + 7 = 36k^2 + 36k + 16 = 4(9k^2 + 9k + 8)}\)
Powinno być:
\(\displaystyle{ (6k+3)^2 + 7 = 36k^2 + 36k + 16 = 4(9k^2 + 9k + 4)}\)

Oczywiście w zadaniu niewiele to zmienia.
ODPOWIEDZ