Matematyka finansowa - Okres kapitalizacji

Osobny dział dla miłośników procentów.
Daaawidb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 3 kwie 2019, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Matematyka finansowa - Okres kapitalizacji

Post autor: Daaawidb »

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania lub chociaż wskazówkę jak to rozwiązać.

Jak często trzeba kapitalizować odsetki od kapitału \(\displaystyle{ 12 000,00}\) aby w ciągu \(\displaystyle{ 2}\) lat przy stopie procentowej \(\displaystyle{ 6\%}\) wygenerował odsetki co najmniej \(\displaystyle{ 1520,00}\)? (podaj najdłuższy okres kapitalizacji)
Ostatnio zmieniony 4 kwie 2019, o 15:25 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nawet proste wyrażenia matematyczne umieszczaj między klamrami [latex] a [/latex].
loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3050
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 816 razy

Re: Matematyka finansowa - Okres kapitalizacji

Post autor: loitzl9006 »

Wystarczy użyć wzoru na procent składany

\(\displaystyle{ K_n=K\cdot \left( 1+\frac p{100}\right) ^n}\)

gdzie

\(\displaystyle{ p}\) - oprocentowanie w skali jednego okresu kapitalizacji
\(\displaystyle{ n}\) - liczba okresów kapitalizacji w ciągu całego czasu trwania lokaty
\(\displaystyle{ K}\) - kwota początkowa, więc \(\displaystyle{ K=12000}\)
\(\displaystyle{ K_n}\) - kwota końcowa, więc \(\displaystyle{ K=12000+1520=13520}\)

Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie liczbą okresów kapitalizacji w ciągu roku.
Wówczas \(\displaystyle{ p=\frac6x}\) oraz \(\displaystyle{ n=2x}\)

Po wstawieniu do wzoru otrzymasz równanie

\(\displaystyle{ 13520=12000\cdot \left( 1+\frac{\frac6x}{100}\right)^{2x}}\), które można jakoś tam minimalnie uprościć:

\(\displaystyle{ \frac{13520}{12000}=\left( 1+\frac6{100x}\right) ^{2x}}\)

jednak podejrzewam że żadną analityczną (dokładną) metodą nie wyliczysz \(\displaystyle{ x}\).

Wpisując to równanie do wolframa otrzymuję, że \(\displaystyle{ x\approx 4.85}\), co oznacza że w ciągu roku trzeba kapitalizować odsetki \(\displaystyle{ 4.85}\) raza, czyli (bardziej po ludzku pisząc) prawie pięć razy w roku.

Krótko mówiąc, okres kapitalizacji to ok. \(\displaystyle{ \frac{365}{4.85}\approx 75}\) dni aby spodziewać się na koncie odsetek \(\displaystyle{ 1520}\) zł po dwóch latach.

Powyższe obliczenia wykonałem bez uwzględnienia podatku \(\displaystyle{ 19\%}\) od odsetek.

Gdybyś chciał uwzględnić ten podatek, to korzystasz z następującego wzoru:

\(\displaystyle{ K_n=K\cdot \left( 1+\frac {\red 0.81 \black p}{100}\right) ^n}\), podkładając wartości parametrów takie, jak ja to zrobiłem. Po uwzględnieniu podatku okres kapitalizacji musi się nieco skrócić, podejrzewam że zamiast \(\displaystyle{ 75}\) dni będzie wynosił jakieś \(\displaystyle{ 68}\) albo \(\displaystyle{ 69}\) dni
ODPOWIEDZ