podzielna przez 36

[nogiln]

Wykaż że jeżeli \(\displaystyle{ m C}\), to \(\displaystyle{ m ^{6}-2m ^{4} + m ^{2}}\) jest podzielne przez 36.

[Justka]

\(\displaystyle{ ...=m^2(m^4-2m^2+1)=m^2(m^2-1)^2=(m-1)^2m^2(m+1)^2=[(m-1)m(m+1)]^2}\)

Liczba w nawiasie kwadratowym (iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych) jest podzielna przez 6, a ponieważ mamy do czynienia z kwadratem tej liczby to \(\displaystyle{ 6^2=36}\), czyli \(\displaystyle{ 36|m^6-2m^4+m^2}\)

[Artist]

\(\displaystyle{ ...=m^{2}*(m^{4}-2m^{2}+1)=m^{2}*(m^{2}-1)^{2}=[m*(m^{2}-1)]^{2}}\)

Wystarczy zatem wykazać,że \(\displaystyle{ m*(m^{2}-1)=m*(m-1)(m+1)}\) jest podzielne przez 6 (bo potem podnosimy to do kwadratu).

Wystarczy zauważyć, że wśród trzech kolejnych liczb jest co najmniej jedna parzysta i dokładnie jedna podzielna przez 3.

[nogiln]

Justka, co to za własność(iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych)?

[Popiolkas]

to ze iloczyn KAŻDYCH trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 6, poniewaz conajmniej jedna z nich jest podzielna przez 2 i jedna jest podzielna przez 3, zatem iloczyn podzielnej przez 2 i podzielnej przez 3 jest podzielny przez 6. POzdrawiam