Udowodnij nierówność

LichuKlichu · Post autor: **LichuKlichu** » 20 gru 2008, o 11:47

Pokazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b takich, że \(\displaystyle{ a 0}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{b}{a^2} qslant \sqrt{3}}\)

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 20 gru 2008, o 12:16

Wskazówka:
\(\displaystyle{ b^2 + \frac{b}{a^2} = (b + \frac{1}{2a})^2 - \frac{1}{4a^2}}\)

LichuKlichu · Post autor: **LichuKlichu** » 20 gru 2008, o 12:39

Niestety nadal nie potrafię sobie poradzić z tą nierównością, już ją próbuję rozwiązać od rana, wszelkimi sposobami i przekształceniami, ale nic mi nie wychodzi. Prosiłbym o jakąś większą podpowiedź

Pozdrawiam.

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 20 gru 2008, o 12:53

Przenieś wszystko na lewą stronę, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a^2 + b^2 + \frac{1}{a^2} + \frac{b}{a^2} - \sqrt{3} = a^2 - \sqrt{3} + \frac{3}{4a^2} + (b + \frac{1}{2a})^2 = (a)^2 - 2 a \frac{\sqrt{3}}{2a} + ft( \frac{\sqrt{3}}{2a}\right)^2 + (b + \frac{1}{2a})^2}\)
Widać już?

LichuKlichu · Post autor: **LichuKlichu** » 20 gru 2008, o 12:59

Wszystko by się zgadzało tylko, że:
\(\displaystyle{ b^2 + \frac{b}{a^2} (b + \frac{1}{2a})^2 - \frac{1}{4a^2}}\)

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 20 gru 2008, o 13:08

No tak, ślepy jestem. W każdym razie to powinno jakoś pójść w ten sposób (o ile w ogóle ta nierówność jest prawdziwa).
Nie jest prawdziwa. Przyjmijmy \(\displaystyle{ a=\frac{1}{2}}\), dostajemy wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} + b^2 + 4 + 4b = (b+2)^2 + \frac{1}{4} qslant \sqrt{3}}\)
A to dla, na przykład, b=-2, nie jest prawdą.

LichuKlichu · Post autor: **LichuKlichu** » 20 gru 2008, o 13:20

Czyli zrobili mnie w bambam Dzięki

juliX · Post autor: **juliX** » 25 gru 2008, o 17:58

przecież kwadraty się upraszczają, więc się je skreśla (tylko nie wiem czy z \(\displaystyle{ b ^{2}}\) to będzie)

ale jeśli uprościmy wszystkie to będzie tak:

\(\displaystyle{ 1 + b qslant \sqrt{3}}\)

i teraz nie wiem, czy obliczyć ten pierwiastek czy co, bo wyjdzie ułamek dziesiętny

frej · Post autor: **frej** » 25 gru 2008, o 18:15

juliX, niestety nie rozumiem o czym mówisz...
Wasilewski, podał co najmniej jeden kontrprzykład, więc zostało już udowodnione, że nierówność nie jest prawdziwa.

juliX · Post autor: **juliX** » 26 gru 2008, o 10:38

frej, to ty nie wiesz, że jeśli jest jakaś nierówność (czy cośtam) to kwadraty się upraszczają? (więc się je skreśla)

frej · Post autor: **frej** » 26 gru 2008, o 12:41

juliX, jak uproszczą??
Zapisz to równanie, proszę. Coś mi się wydaje, że pomyliłeś dodawanie z mnożeniem czy jakoś tak...

smigol · Post autor: **smigol** » 26 gru 2008, o 12:48

juliX pisze:frej, to ty nie wiesz, że jeśli jest jakaś nierówność (czy cośtam) to kwadraty się upraszczają? (więc się je skreśla)

"cośtam"
Nie mów jak posłanka Kruk, chociaż sądząc po tym co piszesz, to chyba jesteś w takim stanie jakim ona była...
Pokaż nam jak Ty "skreślasz" te "kwadraty".

juliX · Post autor: **juliX** » 26 gru 2008, o 14:40

\(\displaystyle{ (x-3)(x+3)+10=(x-2) ^{2} +x
x ^{2} - 3 ^{2} + 10 = x ^{2} -2 2 x+ 2 ^{2} + x}\)
\(\displaystyle{ - 9+10 -}\) \(\displaystyle{ -4x + 4 +x}\)
\(\displaystyle{ 4x-x=9-10+4}\)
\(\displaystyle{ 3x=3|:3}\)
\(\displaystyle{ x=1}\)

frej · Post autor: **frej** » 26 gru 2008, o 14:53

Ale jak to się ma do pierwszego posta??!!

juliX · Post autor: **juliX** » 26 gru 2008, o 15:00

frej pisze:Ale jak to się ma do pierwszego posta??!!

przecież tam są kwadraty kurde mać